Varietà simplettica
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In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere , definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.
Una qualsiasi funzione differenziabile, , a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.
Definizione
Una forma simplettica su una varietà è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, . La coppia si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base dello spazio tangente di in un punto, la matrice
è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di chiusa significa che
dove è la derivata esterna.
Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti è antisimmetrica, ossia , per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).[1]
Sistema di coordinate canonico
Consideriamo una varietà simplettica con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione dove .
Definizione
Una carta si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che
spesso per il sistema di coordinate canonico si usa la notazione classica ponendo e con cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)
Teorema di Darboux
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Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.
Varietà simplettica lineare
La varietà simplettica standard è , siano con le coordinate cartesiane su , con la forma simplettica data da
e in forma matriciale
Questa particolare struttura simplettica è importante perché il teorema di Darboux dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.[1]
Sottovarietà lagrangiane
Data una varietà simplettica di dimensione , di particolare importanza sono le sottovarietà lagrangiane. Una sottovarietà lagrangiana è definita come una sottovarietà di dimensione tale che è identicamente zero su ogni spazio tangente ad . Vi sono numerosi esempi di sottovarietà lagrangiane, come la sezione zero del fibrato cotangente di una varietà e il grafico di un simplettomorfismo inteso come una sottovarietà di con un'adeguata forma simplettica. Tale ubiquità le rende uno dei principali oggetti di studio della geometria simplettica, al punto che un motto di Alan Weinstein è "qualsiasi cosa è una sottovarietà lagrangiana".[1]
Forma volume simplettico
Una varietà simplettica possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.
Definizione
Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da la
Utilizzando un sistema di coordinate canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto
Proprietà
- Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di .
- La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di . Definita
- dove è un borelliano di e si è usato il sistema di coordinate canonico.
Gradienti simplettici
Sia una varietà simplettica e una funzione scalare su
Chiamiamo gradiente simplettico di il campo vettoriale su definito come l'unico campo vettoriale tale che
dove è il differenziale di .[1]
Sistema hamiltoniano
Notiamo che
è biettiva per via della non degenerazione di allora è possibile definire un'applicazione inversa
che prende il nome di tensore di Poisson tale che
dove .
Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana .
La terna si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica si definisce anche spazio delle fasi.
Note
Collegamenti esterni
- Luca Tomassini, varieta simplettiche, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
- (EN) Eric W. Weisstein, Varietà simplettica, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Varietà simplettica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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