アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題（英: Artin–Rees lemma）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとDavid Rees（英語版）によって独立に証明された。特別な場合はオスカー・ザリスキに先に知られていた。

この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる^[1]。

I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して

${\displaystyle I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)}$

が成り立つ。

必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う^[2]。

任意の環 R および R のイデアル I に対して、${\displaystyle \textstyle \mathrm {bl} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}}$ とおく（blow-up のbl）。部分加群の減少列 ${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots }$ が I-フィルター（I-filtration）であるとは、${\displaystyle IM_{n}\subset M_{n+1}}$ が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい n に対して ${\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}$ であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、${\displaystyle \textstyle \mathrm {bl} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ とおく。これは ${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R}$ 上の次数加群である。

さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター ${\displaystyle M_{i}}$ が与えられているとする。次のことを確認する。

${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M}$ が ${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R}$ 上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。

実際、フィルターが I-安定であれば、${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M}$ ははじめの ${\displaystyle k+1}$ 個の ${\displaystyle M_{0},\dots ,M_{k}}$ によって生成され、これらは有限生成であるので、${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M}$ も有限生成である。逆に、${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M}$ が有限生成であれば、${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}}$ として、${\displaystyle n\geq k}$ に対して、各 f ∈ M_n は

${\displaystyle f=\sum a_{ij}g_{ij},\quad a_{ij}\in I^{n-j}}$

と書ける。ただし ${\displaystyle g_{ij}}$ は ${\displaystyle M_{j},j\leq k}$ の生成元。つまり、${\displaystyle f\in I^{n-k}M_{k}}$ である。

これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$ とする。すると ${\displaystyle M_{n}}$ は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M}$ は ${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R}$ 上有限生成である。しかし ${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R\simeq R[It]}$ は R がネーター環なのでネーター環である。（環 ${\displaystyle R[It]}$ はリース代数（英語版）と呼ばれる。）したがって、${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M}$ はネーター加群であり任意の部分加群は ${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R}$ 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち ${\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N}$ であるとき、${\displaystyle \mathrm {bl} _{I}N}$ は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。

環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)

ネーター局所環の真のイデアル I に対して、${\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$

の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して

${\displaystyle I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)}$

が成り立つ。すると ${\displaystyle N=IN}$ なので中山の補題によって ${\displaystyle N=0}$ である。

• Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969), Introduction To Commutative Algebra, Addison-Wesley Series in Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-00361-9, MR0242802, Zbl 0175.03601, https://books.google.co.jp/books?id=HOASFid4x18C 
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR1322960, Zbl 0819.13001, https://books.google.co.jp/books?id=xDwmBQAAQBAJ 

• Artin-Rees Theorem - PlanetMath.org（英語）