数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数やバーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャーとヘルマン・キンケリンである。
グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。
オンライン整数列大辞典の数列 A074962.
定義
グレイシャー・キンケリンの定数
は、
![{\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e50bf48141114ffd3c30e4714d059513feac82e)
の極限である。ここで、
はK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。
![{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{e^{-n}n^{n+{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199549e580da8b6234770507e57f2aac4f49f519)
πは階乗
、Aは階乗の類似物であるK関数
により表されている。
バーンズのG関数、
(ここで
はガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。
.
グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fae7ceb3a492ac66c62e55b8d3ff8fd4fe42169)
![{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bbe57192497c8033649860db6dd44ac2676f06)
ここで、
はオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4b2d5199966cba71d08a830f3d39c62d68493c)
以下は、この定数を含むいくつかの積分である。
![{\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657496f3a39cca139fb6073ff50f1e0473b37358)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5950b48c87f68835e1d5ee95165643567f463d73)
この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。
![{\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61e79a2d343f72f11d7b8fc294bf199da35570b)
参考文献
- Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv:math.NT/0506319。
- Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. (Provides a variety of relationships.)
- Weisstein, Eric W. "Glaisher–Kinkelin Constant". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function". mathworld.wolfram.com (英語).
関連項目
外部リンク
- The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places