ハドヴィガーの定理
積分幾何学(英語版)(もしくは幾何学的確率論)において、ハドヴィガーの定理(ハドヴィガーのていり、英: Hadwiger's theorem)は Rn における凸体(英語版)への付値 (測度論)(英語版)の特徴付けをする定理である。ヒューゴ・ハドヴィガーによって証明された。
導入
付値
Kn を、Rn における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。
付値とは、関数 v:Kn → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kn である任意の S,T ∈Kn に対し
を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ Kn と Rn の任意の平行移動または回転に対し
- v(φ(S)) = v(S)
が成り立つことをいう。
Quermassintegrals
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Somme_de_Minkowski_%281%29.jpg/180px-Somme_de_Minkowski_%281%29.jpg)
quermassintegral(英語版) Wj: Kn → R は、シュタイナーの公式
によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W0 は体積、W1 は表面積の定数倍、Wn-1 は平均幅の定数倍、Wn は定数 Voln(B) である。
Wj は斉 n-j 次の付値である、つまり、
定理の主張
剛体運動の下で不変で連続な、Kn 上の任意の付値 v は、
と表示できる。
系
剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 j 次な Kn 上の任意の付値 v は、Wn-j の定数倍である。
参考文献
ハドヴィガーの定理の説明および証明:
- Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. MR1608265
Beifang Chen による、初等的で自己完結的な証明:
- Chen, B. (2004). “A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem”. Geom. Dedicata 105: 107–120. doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. MR2057247.
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