フィンスラー多様体

フィンスラー多様体（フィンスラーたようたい、英: Finsler manifold）とは、可微分多様体 M であって各接空間 T_xM でミンコフスキー汎関数 F(x, −) (非対称のときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線 γ: [a, b] → M の長さが

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t}$

であるものと定義される、微分幾何学の概念である。

正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。

フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsicな準距離空間になる。

ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し(Finsler 1918)、エリ カルタン (1933)がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

フィンスラー多様体は、可微分多様体 M であって、接束上の連続非負関数 F: TM → [0, +∞) であるフィンスラー計量がM の各点 x に対して、以下の性質をもつものである：

• （劣加法性）x で M に正接する 2 つの任意ベクトル v,w に対して F(v + w) ≤ F(v) + F(w)。
• （正の斉次性）任意の λ ≥ 0 に対して F(λv) = λF(v)。
• （正定値性）v = 0 でない限り F(v) > 0。

つまり、F(x, −) は接空間 T_xM 上の非対称ノルム（英語版）である。フィンスラー計量 F は「滑らか」である必要がある。より正確には

• F は TM の零切断の補集合で滑らか。

劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる：

• 各接線ベクトル v ≠ 0 について、v での F² のヘッセ行列は正定値である。

ここで、v における F² のヘッシアンは対称な双線型形式

${\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0}}$

である。これは v における F の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、u⁄F(u) ≠ v⁄F(v) の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 F が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。

さらに、

• 任意の接ベクトル v に対して F(−v) = F(v)

のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。

• 有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
• （擬リーマン多様体ではない）リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

(M, a) をリーマン多様体とし、b を M 上の微分 1 形式で

${\displaystyle \|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,}$

を満たすものとする。ここで a^ij は a_ij の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると

${\displaystyle F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}}$

は M 上のランダース計量を定義し、(M, F) は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である^[1]。

(M, d) を準距離とする。つまり M は可微分多様体であり、d は M の微分構造と次の意味での互換性をもつ：

• M の任意の点 z の近傍で滑らかな M のチャート (U, ϕ) と定数 C ≥ 1 が存在して、任意の x, y ∈ U に対して次が成り立つ：

  ${\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}$

• 関数 d: M×M → [0, ∞] がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。

するとフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞] を

${\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}}}$

で定義できる。ここで γ は M の任意の曲線で γ(0) = x かつ γ′(0) = v を満たす。このように得られたフィンスラー関数 F は M の接空間で非対称な（通常は非ミンコフスキー）ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 d_L: M×M → [0, ∞] は

${\displaystyle d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\}}$

で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞) からこの式によって M 上のintrinsicな準計量 d_L を定義できる。

F の均一性により、M 上の微分可能な曲線 γ: [a, b] → M の長さ

${\displaystyle L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\mathrm {d} t}$

は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 γ は、もしその十分に短いセグメント γ|_[c,d] が γ(c) から γ(d) までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数

${\displaystyle E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\mathrm {d} t}$

が固定端点 γ(a) = x, γ(b) = y をもつ微分可能な曲線 γ 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、γ は測地線である。

エネルギー汎関数 E[γ] のオイラー・ラグランジュ方程式は TM の局所座標系 (x¹, ..., xⁿ, v¹, ..., vⁿ) で

${\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0}$

である。ここで k = 1, ..., n、また g_ij は次で定義される基本テンソルの座標表現である：

${\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).}$

v ∈ T_xM に関して F²(x, v) に強い凸性（英語版）を仮定すると、行列 g_ij(x, v) は正則であり、その逆行列は g^ij(x, v) と表される。すると γ: [a, b] → M が (M, F) の測地線である必要十分条件は、接曲線 γ′: [a, b] → TM∖{0} が TM∖{0} 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 H の積分曲線であることである：

${\displaystyle \left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},}$

ここで局所スプレー係数 Gⁱ は次式で与えられる：

${\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}$

TM∖{0} 上のベクトル場 H は JH = V および [V, H] = H を満たす。ここで J, V は TM∖{0} の正準準同型（英語版）および正準ベクトル場である。したがって定義より H は M 上のスプレー（英語版）である。スプレー H は垂直投影を介してファイバー束 TM∖{0} → M に非線形接続を定義する。

${\displaystyle v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann曲率（英語版）と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 (M, H) に対するヤコビ方程式のバージョン

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0}$

が存在する。

Hopf-Rinowの定理（英語版）により、(M, F) 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も E[γ] に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。F² の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の (x, v) ∈ TM∖{0} に対して γ(0) = x および γ′(0) = v を満たす最大の測地線 γ が一意に存在する。

F² が強い凸性をもつなら、測地線 γ: [0, b] → M は、γ に沿って γ(0) に共役する最初の点 γ(s) まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、t > s の場合、γの近くにγ(0) から γ(t) までのより短い曲線が常に存在する。

• Antonelli, Peter L., ed. (2003), Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, MR2067663, https://books.google.com/books?id=b2B5_IUvPJgC 
• Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). An introduction to Riemann–Finsler geometry. Graduate Texts in Mathematics. 200. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. MR1747675 
• Cartan, Élie (1933), “Sur les espaces de Finsler”, C. R. Acad. Sci. Paris 196: 582–586, Zbl 0006.22501 
• Chern, Shiing-Shen (1996), “Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction”, Notices of the American Mathematical Society 43 (9): 959–63, MR1400859, https://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf 
• Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen, Dissertation, Göttingen, JFM 46.1131.02  (Reprinted by Birkhäuser (1951))
• Rund, Hanno (1959). The differential geometry of Finsler spaces. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101. Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. MR0105726 
• Shen, Zhongmin (2001). Lectures on Finsler geometry. Singapore: World Scientific. doi:10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. MR1845637 

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Finsler space, generalized”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/f040420.htm 
• The (New) Finsler Newsletter