ブリルアン関数 ブリルアン関数 (―関数、Brillouin function、ブリュアン関数、ブリユアン関数[ 1] とも)[ 2] [ 3] は以下で定義される特殊関数 である。
B J ( x ) = 2 J + 1 2 J coth ( 2 J + 1 2 J x ) − 1 2 J coth ( 1 2 J x ) {\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}
ブリルアン関数は通常、 x {\displaystyle x} は実数 の変数、 J {\displaystyle J} は正の整数 /半整数 である(下記を参照)。この場合では関数の値の範囲は-1から1となり、 x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } で+1に、 x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } で-1に漸近する。
この関数は、理想的な常磁性体 の磁化を計算する際に現れることでよく知られている。特に、物質の微小磁気モーメントの全角運動量量子数 Jと外部磁場 H {\displaystyle H} に対する磁化 M {\displaystyle M} の依存性を説明する。磁化は以下で与えられる[ 2] 。
M = N g μ B J ⋅ B J ( x ) {\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J\cdot B_{J}(x)}
ここで
N {\displaystyle N} は単位体積あたりの原子数, g {\displaystyle g} はg因子 , μ B {\displaystyle \mu _{\rm {B}}} はボーア磁子 , 熱エネルギー k B T {\displaystyle k_{\rm {B}}T} に対する、外部磁場中の磁気モーメントのゼーマン エネルギーの比 x = g μ B J H k B T {\displaystyle x={\frac {g\mu _{\rm {B}}JH}{k_{\rm {B}}T}}}
k B {\displaystyle k_{\rm {B}}} はボルツマン定数 T {\displaystyle T} は温度。
導出 ブリルアン関数の導出は以下の通りである[ 2] 。この関数は理想的な常磁性体の磁化を説明する。 z {\displaystyle z} を磁場の方向とする。それぞれの磁気モーメントの角運動量(軌道角運動量 )のz-成分は − J , − J + 1 , … , + J {\displaystyle -J,-J+1,\ldots ,+J} の2J+1個の状態のうちのいずれかを取る。これらの状態は外部磁場 H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} により異なるエネルギーをもつ。量子数 m {\displaystyle m} と結びついたエネルギーは
E m = − m g μ B H = − k B T x m / J {\displaystyle E_{m}=-mg\mu _{\rm {B}}H=-k_{\rm {B}}Txm/J}
と表される。ここで g {\displaystyle g} はg因子 、 μ B {\displaystyle \mu _{\rm {B}}} はボーア磁子 、 x {\displaystyle x} は前述の通り定義される。それぞれの相対確率はボルツマン因子 によって与えられ
P ( m ) = e − E m / ( k B T ) / Z = e x m / J / Z {\displaystyle P(m)=e^{-E_{m}/(k_{\rm {B}}T)}/Z=e^{xm/J}/Z}
である。ここで Z {\displaystyle Z} (分配関数 )は全確率の総和を1にするための規格化定数である。 Z {\displaystyle Z} を計算することにより、
P ( m ) = e x m / J / ( ∑ m ′ = − J J e x m ′ / J ) {\displaystyle P(m)=e^{xm/J}/\left(\sum _{m'=-J}^{J}e^{xm'/J}\right)}
を得る。以上より軌道量子数 m {\displaystyle m} の期待値 は
⟨ m ⟩ = ( − J ) × P ( − J ) + ⋯ + J × P ( J ) = ( ∑ m = − J J m e x m / J ) / ( ∑ m = − J J e x m / J ) {\displaystyle \langle m\rangle =(-J)\times P(-J)+\cdots +J\times P(J)=\left(\sum _{m=-J}^{J}me^{xm/J}\right)/\left(\sum _{m=-J}^{J}e^{xm/J}\right)}
である。分母は等比級数であり、また分子は等比等差級数の一種[ 4] であるため、正確に総和を求めることができる。代数計算を行うと、上記の式は
⟨ m ⟩ = J B J ( x ) {\displaystyle \langle m\rangle =JB_{J}(x)}
と表されることがわかる。単位体積あたり N {\displaystyle N} 個の磁気モーメントがあるとすると、磁化密度は
M = N g μ B ⟨ m ⟩ = N g J μ B B J ( x ) {\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}\langle m\rangle =NgJ\mu _{\rm {B}}B_{J}(x)}
である。
ランジュバン関数 ランジュバン関数(赤)と tanh ( x / 3 ) {\displaystyle \tanh {(x/3)}} (青)の比較 古典的な極限では、モーメントは磁場中で連続的に整列し、 J {\displaystyle J} は全ての値をとり得る ( J → ∞ {\displaystyle J\to \infty } ) とみなせる。この場合、ブリルアン関数はより簡単なランジュバン関数 (Langevin function) になる。ランジュバン関数はポール・ランジュバン にちなんで名づけられた。
L ( x ) = coth ( x ) − 1 x {\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}
高温の極限 x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} の場合、即ち μ B H / k B T {\displaystyle \mu _{\rm {B}}H/k_{\rm {B}}T} が小さい場合、ブリルアン関数の振る舞いは、
B J ( x ) ≃ J + 1 J x 3 {\displaystyle B_{J}(x)\simeq {\frac {J+1}{J}}{\frac {x}{3}}}
と近似される。よって、磁化の式は
M = C ⋅ H T {\displaystyle M=C\cdot {\frac {H}{T}}}
となり、キュリーの法則 を導くことができる。ここで C = N g 2 μ B 2 J ( J + 1 ) 3 k B {\displaystyle C={\frac {Ng^{2}\mu _{\rm {B}}^{2}J(J+1)}{3k_{\rm {B}}}}} はキュリー定数である。また、 g J ( J + 1 ) {\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}} は有効ボーア磁子数とよばれる。
高磁場の極限 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } の場合、ブリルアン関数は1に近づく。磁気モーメントは印加磁場に対して完全に整列し、磁化が飽和する。
M = N g μ B J {\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J}
参考文献 ^ 『学術用語集』物理学編(増訂版)[リンク切れ ] ^ a b c C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0471415268 ^ Darby, M.I. (1967), “Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization”, Brit. J. Appl. Phys. 18 : 1415–1417, doi:10.1088/0508-3443/18/10/307 ^ “アーカイブされたコピー”. 2008年9月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年8月2日 閲覧。