ボルンの式

ボルンの式（ボルンのしき、英: The Born Equation）は、イオンの溶媒和のギブズ自由エネルギー（英語版）の静電成分を示す式である。

ボルンの式は、溶媒を連続した誘電媒体と扱う（連続体溶媒和法と呼ばれる方法の1つ）。

マックス・ボルンが考案した^[1][2]。

${\displaystyle \Delta G=-{\frac {N_{A}z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}\right)}$

ここで

• N_A = アボガドロ数
• z = イオンの電荷
• e = 素電荷, 1.6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = 真空の誘電率
• r₀ = 実効的なイオン半径
• ε_r = 溶媒の比誘電率

静電界分布に蓄えられるエネルギーUは次のように表される。$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\int |{\bf {E}}|^{2}dV}$$

比誘電率ε_rの媒体中のイオンの電場の大きさは ${\displaystyle |{\bf {E}}|={\frac {ze}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r^{2}}}}$ であり、また体積要素 ${\displaystyle dV}$ は${\displaystyle dV=4\pi r^{2}dr}$, であらわされるため、エネルギー${\displaystyle U}$ は次のように表される：$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\int _{r_{0}}^{\infty }({\frac {ze}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r^{2}}})^{2}4\pi r^{2}dr={\frac {z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r_{0}}}}$$

したがって、イオンが真空(ε_r =1)から誘電率ε_r の媒質に溶解する際のエネルギーは次のようになる：$${\displaystyle {\frac {\Delta G}{N_{A}}}=U(\varepsilon _{r})-U(\varepsilon _{r}=1)=-{\frac {z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}\right)}$$

ここでイオン半径r₀結晶イオン半径r_iを用いたものをボルン式と呼び、実際の溶媒和エネルギーに近づけるために溶媒のさやの厚みr_sを加えた溶媒和イオン半径(r_i+r_s)を用いたものを改良ボルン式と呼ぶ。

アルカリ金属イオンに対する溶媒和イオン半径を表1に示す。この値は溶媒のルイス酸・塩基性（ドナー数）に依存し、ドナー数の大きいものがカチオンに対するr_sが大きくなる。ドナー数は溶媒和における共有結合性に関連しており、溶媒和の連続体とみなせない部分の一部を補正する値とみなせる^[3]。

• 自由エネルギー関係

• aspects about this equation