をシンプレクティック多様体であるとする。
の部分多様体が ラグランジュ部分多様体であるとは、
(1)
(2)
を満たすことをいう。
例1
をn次元シンプレクティック多様体であるとする。 また、を次を満たす上の 滑らかな関数たちとしよう。
(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まる ポアソン構造に関して、が成立する。 ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。
(ii) は上で一次独立である。 はの外微分を表す。
からへの写像を で定義する。
このとき、もしが の正則値であるならば、
はラグランジュ部分多様体である。
例2
をn次元多様体とし、 でその余接バンドルを表すとする。 余接バンドルを正準2形式の入ったシンプレクティック多様体であると 思うと、はラグランジュ部分多様体である。
関連項目