数学において凸共役(とつきょうやく、英: convex conjugation)とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル=フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる(アドリアン=マリ・ルジャンドルとウェルナー・フェンシェル(英語版)の名にちなむ)。
定義
を実ノルム線型空間とし、 を の双対空間とする。双対組を次で表す。
拡大実数に値を取る函数
に対する凸共役
は、上限を用いて次のように定義される。
あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。
この定義は、函数のエピグラフの凸包の、支持超平面(英語版)に関する符合化と解釈することが出来る[1] [2]。
例
アフィン函数
の凸共役は
である。冪函数
の凸共役は
である。ここで である。
絶対値函数
の凸共役は
である。指数函数 の凸共役は
である。指数函数の凸共役とルジャンドル変換は、凸共役の定義域が厳密に大きいことを除いて一致する。ルジャンドル変換は正の実数に対してのみ定義されるためである。
期待ショートフォール(リスク平均値)との関係
F を確率変数 X の累積分布函数とする。このとき、部分積分により
は次の凸共役を持つ。
順序
特別な解釈により次の変換が考えられる。
これは初期函数 f の非減少な書き換えである。特に、f に対する は非減少である。
性質
閉凸函数の凸共役は再び閉凸函数である。多面体的凸函数(多面体的エピグラフを持つ凸函数)の凸共役は、再び多面体的凸函数である。
順序の反転
凸共役は、順序を反転させる。すなわち、 ならば である。ここで
である。函数の族 に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。
さらに最大最小不等式により、次が従う。
二重共役
函数の凸共役は常に下半連続である。二重共役 (凸共役の凸共役)は閉凸包、すなわち、 を満たす最大の下半連続凸函数でもある。真凸函数 f に対し、次が成り立つ。
- であるための必要十分条件は、f が凸かつ下半連続であることである(フェンシェル=モローの定理)
フェンシェルの不等式
任意の函数 f とその凸共役 f * に対し、次のフェンシェルの不等式(フェンシェル=ヤングの不等式としても知られる)は、すべての x ∈ X と p ∈ X * に対して成立する:
凸性
二つの函数 と および数 に対し、次の凸関係が成立する。
この演算 はそれ自身が凸写像である。
極小畳み込み
二つの函数 f と g の極小畳み込み(infimal convolution)は、次で定義される(epi-sum とも呼ばれる):
f1, …, fm は Rn 上の真凸かつ下半連続な函数とする。このとき、これらの極小畳み込みは凸かつ下半連続である(が、必ずしも真凸ではない)[3]。さらに次が成立する。
二つの函数の極小畳み込みは、次のような幾何学的解釈がある:二つの函数の極小畳み込みの(厳密な)エピグラフは、それらの函数の(厳密な)エピグラフのミンコフスキー和(英語版)である[4]。
最大化引数
函数 が微分可能であるなら、その導函数は凸共役の計算における最大化引数(maximizing argument)である。すなわち、
- と
が成り立つ。したがって
であり、さらに次が成立する。
スケーリング性
ある に対し、 であるなら、次が成り立つ。
さらにパラメータ α が追加される場合は、次が成り立つ。
ここで は最大化引数であるように選ばれる。
線型変換の下での挙動
A を X から Y への有界線型作用素とする。X 上の任意の凸函数 f に対して、次が成り立つ。
ここで
は f の A に関する原像であり、A* は A の共役作用素である[5]。
閉凸函数 f は、ある与えられた直交線型変換の集合 G に関して対称である、すなわち
であるための必要十分条件は、凸共役 f* が G に関して対称であることである。
代表的な凸共役の表
次の表では、多くの有名な函数のルジャンドル変換で、有用な性質を持つものが示されている[6]。
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(where ) | | | |
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(where ) | | | |
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(where ) | | (where ) | |
(where ) | | (where ) | |
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関連項目
参考文献
- ^ “Legendre Transform”. September 13, 2012閲覧。
- ^ “Legendre transformation and information geometry”. 2015年7月13日閲覧。
- ^ Phelps, Robert (1991). Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability (2 ed.). Springer. p. 42. ISBN 0-387-56715-1
- ^ Bauschke, Heinz H.; Goebel, Rafal; Lucet, Yves; Wang, Xianfu (2008). “The Proximal Average: Basic Theory”. SIAM Journal on Optimization 19 (2): 766. doi:10.1137/070687542.
- ^ Ioffe, A.D. and Tichomirov, V.M. (1979), Theorie der Extremalaufgaben. Deutscher Verlag der Wissenschaften. Satz 3.4.3
- ^ Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples (2 ed.). Springer. pp. 50–51. ISBN 978-0-387-29570-1
- Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-96890-3. MR997295
- Rockafellar, R. Tyrell (1970). Convex Analysis. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4. MR0274683
外部リンク
- Touchette, Hugo (2005年7月27日). “Legendre-Fenchel transforms in a nutshell” (PDF). 2009年3月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年7月24日閲覧。
- Touchette, Hugo (2006年11月21日). “Elements of convex analysis” (PDF). 2008年3月26日閲覧。
- “Legendre and Legendre-Fenchel transforms in a step-by-step explanation”. 2013年5月18日閲覧。