三角法 における正接定理 （せいせつていり）とは、三角形 の2つの角と2つの辺の関係を示した定理 である。
図1：α, β, γ の3つの角と a, b, c の3辺を持つ三角形 図1 において以下の式が成り立つ。
a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.} 正接定理は正弦定理 や余弦定理 ほど一般的ではないが、三角形の2つの角と2辺の長さのうちどれか1つが不明の場合は正弦定理の代わりにこの定理を使用しても残りの値を出すことができる。
球面上の三角形における正接定理は、13世紀にナスィールッディーン・トゥースィー が著書 Treatise on the Quadrilateral で言及している[ 1] [ 2]
この定理の証明は、正弦定理 から始まる。すなわち、
a sin α = b sin β {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}} から
a b = sin α sin β {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}} が得られ、これに比例式 における合除比の理 (Componendo and Dividendo Theorems) を適用すると、
a − b a + b = sin α − sin β sin α + sin β {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}} が成立する。
ここで、以下の和積公式 を使用する。
sin α ± sin β = 2 sin α ± β 2 cos α ∓ β 2 {\displaystyle \sin {\alpha }\pm \sin {\beta }=2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}} 最終的に以下のようになる。
a − b a + b = 2 sin 1 2 ( α − β ) cos 1 2 ( α + β ) 2 sin 1 2 ( α + β ) cos 1 2 ( α − β ) = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }
球面三角形 球面三角法 の正弦定理：
sin a sin α = sin b sin β {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}} から、前節の過程を同様に辿ることにより、球面三角法の正接定理：
tan a − b 2 tan a + b 2 = tan α − β 2 tan α + β 2 {\displaystyle {\frac {\tan {\dfrac {a-b}{2}}}{\tan {\dfrac {a+b}{2}}}}={\frac {\tan {\dfrac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\dfrac {\alpha +\beta }{2}}}}} が得られる。
正接定理は、三角形の2辺 a, b とその間の角 γ {\displaystyle \gamma } tan [ 1 2 ( α − β ) ] = a − b a + b tan [ 1 2 ( α + β ) ] = a − b a + b cot [ γ 2 ] {\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]} α − β {\displaystyle \alpha -\beta } α + β = 180 ∘ − γ {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma } c = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}} γ {\displaystyle \gamma } a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 桁落ち の危険性があるため正接定理のほうが都合がよい。
^ Marie-Thérèse Debarnot (1996). “Trigonometry”. In Rushdī Rāshid, Régis Morelon. Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 . Routledge. p. 182. ISBN 0-415-12411-5. https://books.google.co.jp/books?id=cPGRYLlwbrEC&pg=PA182&redir_esc=y&hl=ja ^ Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). “Trigonometry”. In C. E. Bosworth, M.S.Asimov. History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 . Motilal Banarsidass Publ.. p. 190. ISBN 81-208-1596-3. https://books.google.co.jp/books?id=ELrRr0L8UOsC&pg=PA190&redir_esc=y&hl=ja
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7a4a3592aa66976f1d34bbbb403daa392f9fdf)
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74315561e7973ed1162376e8acf4c82081175a6)
![{\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37200b8c0ecda829acbd16ec403dd1c42ba727bb)
