積公式

この項目では、代数的整数論について説明しています。その他の乗法公式については「積の法則」をご覧ください。

「跡公式（英語版）」とは異なります。

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数学の代数的整数論における積公式（せきこうしき、英: product formula）は、与えられた数体における全ての絶対値を結びつけるものである。

有理数体 ℚ に対しては、 $\prod _{p}{\mathopen {|}}x{\mathclose {|}}_{p}=1\qquad (\forall x\in \mathbb {Q} ^{*})$ となる^{[注 1]}という意味において積公式が成り立つ。ただし、上記の積は p が任意の素数または ∞ を亙る範囲でとるものとし、各 |•|_p は p が素数のとき p-進絶対値、p = ∞ のとき通常の絶対値を表すものとする。上記の式は自然な仕方で代数体へ一般化することができる。

「大域体」および「イデールノルム」も参照

注

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注釈

^ 左辺の積を陽に書けば^[1]、有理数 x を既約分数として書いて分子分母をそれぞれ素因数分解しておくとき、各素数 p についてみれば、p の肩に乗っている冪指数の符号を逆にしたものが p-進絶対値の値に等しいという関係を述べている。

出典

^ Weisstein, Eric W. "Product Formula". mathworld.wolfram.com (英語).

参考文献

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Product Formula". mathworld.wolfram.com (英語).
global field, 2. Artin-Whaples characterization in nLab
group of ideles, 3. Properties, Product formula in nLab

望月, 新一 (2000), “ٴ多項式の解の近似がとりもつ数論と幾何の関係”, 数学セミナー 39 (4-7), http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Takoushiki%20no%20kai%20no%20kinji%20ga%20torimotsu%20suuron%20to%20kika%20no%20kankei.pdf