等エントロピー過程(isentropic process)とは、系のエントロピーが一定な熱力学過程[1][2]。任意の可逆断熱過程は等エントロピー過程であることを証明できる。
背景
熱力学第二法則によれば次が成り立つ。
![{\displaystyle \delta Q\leq TdS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca61c534515b505d15d7921c19f9b238ac1087c)
ここで、
は加熱によって系が獲得するエネルギー量、
は系の温度、
はエントロピーの変化量である。等号があるのは、可逆過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、断熱過程でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う(冷却する)ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。
可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であり、したがって共役過程は等温過程である。等温過程では系は外界(恒温槽)と熱的に「接続」されている。
等エントロピー流
等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れである。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦や散逸によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。
等エントロピー関係式の導出
閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。
![{\displaystyle dU=dW+dQ\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d9d4c6a0d3d9761a60b7dbe3120a64a70d8302)
体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。
![{\displaystyle dW=-pdV\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a5d389e67978eec91c6222343606f6fcbedfb1)
ここで
は圧力、
は体積である。エンタルピー (
) の変化は次のようになる。
![{\displaystyle dH=dU+pdV+Vdp=nC_{p}dT\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114902715614bbada9785d70ab6e67cc235254c1)
可逆過程は断熱過程なので(すなわち、熱を外界とやり取りしない)、
である。ここから次の重要な2つの式が導出される。
, および
または ![{\displaystyle dQ=dH-Vdp=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0271bee0e5238ebbdd5feb3472753295968d25)
⇒ ![{\displaystyle dS=(1/T)dH-(V/T)dp\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7d7a033ddcb0b263de8bcc5a6424a58fb8b797)
すると、比熱比は次のようになる。
![{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a80686d9d313a43c6bbfaa41b76f364b299a39)
理想気体では
は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。
であるから ![{\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e629b8f663985e3b3e1ebf521620621af8133f86)
理想気体の状態方程式
を使うと、次のようになる。
![{\displaystyle TV^{\gamma -1}={\mbox{constant}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755621197db156c8724095548c3047908bcee5bc)
![{\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\mbox{constant}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f01000100e8d7732799325d6f7e1a35ab0c7d0)
また、
(モル単位)が成り立つので、
かつ ![{\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba95b750112d10ce635627e9e2f19eb92ef743aa)
![{\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320d358b2d85afb332797fc3ba855046e127860a)
![{\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb29e9a2e9f565fd40b9b2a048ad4c9ef4a4f4a)
以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。
または ![{\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1803c7f5f5c55799291b7bb845a956616845e7)
理想気体の等エントロピー関係式一覧
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
前提は次の通り。
![{\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e504bad597ba3e5195d24b746d44fe0c7b699fc7)
![{\displaystyle pV=mR_{s}T\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986e85ab384c3db211c2591f4ac49e0c7f1ade9e)
![{\displaystyle p=\rho R_{s}T\,\!\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492074f15e2756f06af909ced74c0bd964fbda4a)
- ここで:
= 圧力
= 体積
= 比熱比 = ![{\displaystyle C_{p}/C_{v}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c00a8603b695d68d78e8c136e7dc10cd2fa0a03)
= 温度
= 質量
= 特定の気体の気体定数 = ![{\displaystyle R/M\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26a1550b2e1d470b08a172de316051be8587b1a)
= 標準気体定数
= 特定の気体の分子量
= 密度
= 定圧比熱
= 定積比熱
参考文献
- Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470
脚注・出典
- ^ Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E., Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 7.4
- ^ Massey, B.S. (1970), Mechanics of Fluids, Section 12.2 (2nd edition) Van Nostrand Reinhold Company, London. Library of Congress Catalog Card Number: 67-25005
関連項目
![スタブアイコン](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/30px-Nuvola_apps_kalzium.png) | この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています(プロジェクト:物理学/Portal:物理学)。 |