等エントロピー過程

熱力学
古典的カルノー熱機関（英語版）
分野 熱力学 統計力学 熱化学 平衡熱力学 / 非平衡熱力学
熱力学の法則 第零法則 第一法則 第二法則 第三法則
系 状態（英語版） 状態方程式 理想気体 実在気体 物質の状態 平衡 検査体積 過程（英語版） 定圧過程 定積過程 等温過程 断熱過程 等エントロピー過程 等エンタルピー過程（英語版） 準静的過程 ポリトロープ過程（英語版） 可逆性 不可逆性 内部可逆性（英語版） サイクル 熱機関 熱ポンプ（英語版） 熱効率
系の特性 注: 斜体は共役変数（英語版）を示す。 特性線図（英語版） 示量性と示強性 状態の関数 温度 / エントロピー 圧力 / 体積（英語版） 化学ポテンシャル / 粒子数（英語版） 蒸気乾き度（英語版） 対臨界特性（英語版） 過程関数（英語版） 仕事 熱
材料特性（英語版） 比熱容量  ${\displaystyle c=}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial T}$ 圧縮率  ${\displaystyle \beta =-}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial p}$ 熱膨張  ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial T}$
方程式（英語版） カルノーの定理 クラウジウスの定理 基本関係式（英語版） 理想気体の状態方程式 マクスウェルの関係式 オンサーガーの相反定理 ブリッジマンの方程式（英語版）
熱力学ポテンシャル 自由エネルギー 自由エントロピー（英語版） 内部エネルギー ${\displaystyle U(S,V)}$ エンタルピー ${\displaystyle H(S,p)=U+pV}$ ヘルムホルツの自由エネルギー ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ ギブズの自由エネルギー ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
歴史 文化 歴史 一般（英語版） 熱（英語版） エントロピー（英語版） 気体の法則 永久機関（英語版） 哲学（英語版） エントロピーと時間（英語版） エントロピーと生命（英語版） ブラウン・ラチェット マクスウェルの悪魔 熱力学的死のパラドックス（英語版） ロシュミットのパラドックス シナジェティクス（英語版） 理論 カロリック説 熱の理論（英語版） Vis viva（英語版） 熱の仕事当量 動力 重要文献 摩擦により発生する熱の源に関する実験的探求（英語版） 不均一な物質系の平衡に就いて 熱の動力についての考察（英語版） 年表 熱力学 熱機関（英語版） 芸術 教育 マクスウェルの熱力学的表面（英語版） エネルギー拡散としてのエントロピー（英語版）
科学者 ベルヌーイ ボルツマン カルノー クラペイロン クラウジウス カラテオドリ デュエム ギブズ フォン・ヘルムホルツ ジュール マクスウェル フォン・マイヤー オンサーガー ランキン スミートン シュタール トンプソン トムソン ファン・デル・ワールス ウォーターストン
表 話 編 歴

等エントロピー過程（isentropic process）とは、系のエントロピーが一定な熱力学過程^[1][2]。任意の可逆断熱過程は等エントロピー過程であることを証明できる。

熱力学第二法則によれば次が成り立つ。

${\displaystyle \delta Q\leq TdS}$

ここで、${\displaystyle \delta Q}$は加熱によって系が獲得するエネルギー量、${\displaystyle T}$は系の温度、${\displaystyle dS}$はエントロピーの変化量である。等号があるのは、可逆過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、断熱過程でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う（冷却する）ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。

可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であり、したがって共役過程は等温過程である。等温過程では系は外界（恒温槽）と熱的に「接続」されている。

等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れである。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦や散逸によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。

閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。

${\displaystyle dU=dW+dQ\,\!}$

体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。

${\displaystyle dW=-pdV\,\!}$

ここで${\displaystyle p}$は圧力、${\displaystyle V}$は体積である。エンタルピー (${\displaystyle H=U+pV\,\!}$) の変化は次のようになる。

${\displaystyle dH=dU+pdV+Vdp=nC_{p}dT\,\!}$

可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、${\displaystyle dQ=0,dS=0\,\!}$ である。ここから次の重要な2つの式が導出される。

${\displaystyle dU=-pdV\,\!}$, および

${\displaystyle dH=Vdp\,\!}$ または ${\displaystyle dQ=dH-Vdp=0\,\!}$

${\displaystyle dQ=TdS\,\!}$ ⇒ ${\displaystyle dS=(1/T)dH-(V/T)dp\,\!}$

すると、比熱比は次のようになる。

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}\,\!}$

理想気体では${\displaystyle \gamma \,\!}$は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。

${\displaystyle pV^{\gamma }={\mbox{constant}}\,}$ であるから

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$

理想気体の状態方程式 ${\displaystyle pV=nRT\,\!}$ を使うと、次のようになる。

${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\mbox{constant}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\mbox{constant}}}$

また、${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$（モル単位）が成り立つので、

${\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}$ かつ ${\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}$

${\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}$ または ${\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}$

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$
${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}$
${\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$

前提は次の通り。

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}}\,\!}$

${\displaystyle pV=mR_{s}T\,\!}$

${\displaystyle p=\rho R_{s}T\,\!\,\!}$

ここで:

${\displaystyle p\,\!}$ = 圧力

${\displaystyle V\,\!}$ = 体積

${\displaystyle \gamma \,\!}$ = 比熱比 = ${\displaystyle C_{p}/C_{v}\,\!}$

${\displaystyle T\,\!}$ = 温度

${\displaystyle m\,\!}$ = 質量

${\displaystyle R_{s}\,\!}$ = 特定の気体の気体定数 = ${\displaystyle R/M\,\!}$

${\displaystyle R\,\!}$ = 標準気体定数

${\displaystyle M\,\!}$ = 特定の気体の分子量

${\displaystyle \rho \,\!}$ = 密度

${\displaystyle C_{p}\,\!}$ = 定圧比熱

${\displaystyle C_{v}\,\!}$ = 定積比熱

• Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470

• 断熱過程