重力インスタントン

重力インスタントン（じゅうりょく - ）とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体のことである。

1. リッチ平坦
2. 自己双対（self-dual）なリーマン曲率テンソルをもつ
3. 無限遠で局所的に平坦（asymptotically locally flat）である

（しかし実は、2. ならば 1. が言える。）

あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率が計量に比例している（いわゆる宇宙定数がある）ものを言う。

ヤン・ミルズ理論のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE（Asymptotically Locally Euclidean）空間とも呼ばれる。

（4次元）重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。

1. リーマンの曲率テンソルが自己双対
2. リッチ平坦かつケーラー多様体（= カラビ・ヤウ多様体）
3. 超ケーラー多様体

高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。

重力インスタントンは3次元球面の左不変な1-形式をσ_i (i = 1, 2, 3) を用いて書くのが便利であり、それらはオイラー角を用いて、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi d\theta -\cos \psi \sin \theta d\phi ,\\\sigma _{2}&=\cos \psi d\theta +\sin \psi \sin \theta d\phi ,\\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta d\phi \end{aligned}}}$

のように表される。

ユークリッド化されたターブ・ナット計量（英語版）は

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}\sigma _{3}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

によって与えられる。

江口・ハンソン計量（英語版）は

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

のように表現される。ここで、座標の範囲は r ≥ a^1/4 である。

この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、r → a^1/4, θ= 0, π のところで錐特異点（conical singularity）がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、

• a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4π
• a ≠ 0 のときは座標 ψ の周期が 2π

とならなければならない。

別の座標系を用いて、

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} }$

と表現されることもある。ここで、

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}}$

である。

ギボンズ・ホーキング計量（英語版）^[1]は

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

と定義され、ここに、

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

である。${\displaystyle \epsilon =1}$ は、多重ターブ・ナッツ計量に対応し、${\displaystyle \epsilon =0}$ で ${\displaystyle k=1}$ では平坦空間であり、${\displaystyle \epsilon =0}$ で ${\displaystyle k=2}$ では、（異なる座標で）江口・ハンソン解である。

1. ^ Gibbons, G. W.; Hawking, S. W., Gravitational Multi-instantons. Phys. Lett. B 78 (1978), no. 4, 430–432; see also Classification of gravitational instanton symmetries. Comm. Math. Phys. 66 (1979), no. 3, 291–310.

• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J., Asymptotically flat selfdual solutions to Euclidean gravity. Phys. Lett. B 74 (1978), no. 3, 249–251; see also Self-dual solutions to Euclidean Gravity. Ann. Physics 120 (1979), no. 1, 82–106 and Gravitational instantons. Gen. Relativity Gravitation 11 (1979), no. 5, 315–320.