방정식 xy = yx

일반적으로 지수는 교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 방정식 ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$은 ${\displaystyle x=2,\ y=4}$와 같은 근을 가진다.^[1]

이 방정식은 다니엘 베르누이가 골트바흐에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다.^[2] 그 편지에 따르면 ${\displaystyle x\neq y}$인 경우 유리수 범위에서 ${\displaystyle ({\tfrac {27}{8}},{\tfrac {9}{4}})}$, ${\displaystyle ({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}})}$를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는 ${\displaystyle (2,4)}$와 ${\displaystyle (4,2)}$뿐이라고 한다.^[3][4] 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일^[2])에는 ${\displaystyle y=vx}$로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 오일러도 비슷한 풀이법을 발견했다.

J. van Hengel은 ${\displaystyle r,n}$이 모두 양의 정수이면서 ${\displaystyle r\geq 3}$이면 ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r}}$이므로 자연수 해를 찾는다면 ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle x=2}$를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다.^[4][5]

이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데,^[2][3][4] 1960년에 이 방정식은 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회의 질문 중 하나였으며^[6][7] Alvin Hausner는 결과를 대수적 수체로 확장했다.^[8]

주요 출처:^[1]

양의 실수 범위에서 자명근 집합은 ${\displaystyle x=y}$이다. 비자명근은 람베르트 W 함수를 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을 ${\displaystyle ae^{b}=c}$ 꼴로 변형하고 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 W 함수의 정의를 적용하여 ${\displaystyle a'e^{a'}=c'\Rightarrow a'=W(c')}$와 같이 쓰는 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}y^{x}&=x^{y}=\exp \left(y\ln x\right)&\\y^{x}\exp \left(-y\ln x\right)&=1&\left(\exp \left(-y\ln x\right){\mbox{을 곱함}}\right)\\y\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&=1&\left({\frac {1}{x}}{\mbox{ 제곱}}\right)\\-y{\frac {\ln x}{x}}\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&={\frac {-\ln x}{x}}&\left({\frac {-\ln x}{x}}{\mbox{을}}{\mbox{ 곱함}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow -y{\frac {\ln x}{x}}=W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\frac {-x}{\ln x}}\cdot W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)=\exp \left(-W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)}$

마지막 줄에서 람베르트 W 함수의 성질 ${\displaystyle {\frac {W(x)}{x}}=\exp(-W(x))}$을 사용했다.

여기서 이 해를 람베르트 W 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &(&0<x\leq e)\\W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &(&x\geq e)\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ :

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow y&=\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\&=\exp \left(-(-\ln x)\right)\\&=x\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 1<x<e}$ :

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x=e}$ :

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}={\frac {-1}{e}}}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x>e}$ :

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

따라서 비자명근은 다음과 같다.

비자명근은 ${\displaystyle y=vx}$로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ 제곱하고 ${\displaystyle x}$로 나누면, 다음을 얻는다.

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다.

따라서 1이 아닌 양수 ${\displaystyle v}$에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.

이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. ${\displaystyle y=x}$인 순서쌍 ${\displaystyle (x,y)}$에 대하여 ${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=1}$이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=v^{2}\left({\frac {v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}}\right)}$. (단, ${\displaystyle v}$는 1이 양수)

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ 중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어, ${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{-2}}}}$, ${\displaystyle y={\frac {-2}{\sqrt[{3}]{-2}}}}$ (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게 ${\displaystyle x^{x}}$가 실수일 때 자명근 ${\displaystyle y=x}$ (${\displaystyle x<0}$)도 존재한다. (예를 들어 ${\displaystyle x=y=-1}$)

방정식 ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}={\sqrt[{y}]{x}}}$의 그래프는 ${\displaystyle 1/e}$에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다.

곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다.

${\displaystyle y={\begin{cases}e^{W_{0}(\ln(x^{x}))}\quad &(0<x<1/e)\\e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))}\quad &(1/e<x<1)\end{cases}}}$

이 방정식은 ${\displaystyle y^{y}=x^{x}}$와 동치인데, 양변을 ${\displaystyle xy}$제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식 ${\displaystyle {\sqrt[{y}]{y}}={\sqrt[{x}]{x}}}$ 는 방정식 ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$와 동치이다.

방정식 ${\displaystyle \log _{x}(y)=\log _{y}(x)}$의 그래프는 (1, 1)에서 서로 만나는 곡선 ${\displaystyle y={\dfrac {1}{x}}}$과 ${\displaystyle y=x}$로 이루어져 있다.

• “Rational Solutions to x^y = y^x”. 《CTK Wiki Math》. 2021년 8월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 14일에 확인함. 
• “x^y = y^x - commuting powers”. 《Arithmetical and Analytical Puzzles》. Torsten Sillke. 2015년 12월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
• dborkovitz (2012년 1월 29일). “Parametric Graph of x^y=y^x”. GeoGebra. 
• OEIS sequence A073084 (Decimal expansion of −x, where x is the negative solution to the equation 2^x = x^2)