수학에서, KR이론(KR理論, 영어: KR-theory)은 대합을 갖춘 위상 공간 위의 안정 벡터 다발을 분류하는, 위상 K이론의 일종이다.
정의
대합 공간(영어: space with involution, Real space) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 콤팩트 하우스도르프 공간
- 대합인 연속 자기 함수 ,
대합 공간 위의 대합 벡터 다발(영어: vector bundle with involution, Real vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 복소수 벡터 다발
- 위의 연속 대합
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- 영단면을 라고 하면, 이다.
- 는 ( 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 에 대하여 는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉, 및 에 대하여 이다.
대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다.
성질
다른 K이론과의 관계
복소수 벡터 다발의 위상 K군 과 실수 벡터 다발의 위상 K군 은 KR군의 특별한 경우로 주어진다.
콤팩트 하우스도르프 공간 위에 항등 함수인 대합 을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발
을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은 위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다.
콤팩트 하우스도르프 공간 가 주어졌을 때, 위에 대합
을 부여하자. 그렇다면, 위의 대합 벡터 다발은 위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우 의 KR군은 의 KU군과 같다.
보트 주기성
일반 위상 K이론과 마찬가지로, 축소 KR군(영어: reduced KR-group) 을 정의할 수 있다.
유클리드 공간 위에 대합
을 부여한 것을 으로 표기하자. 그 속의 차원 공 및 초구를 다음과 같이 표기하자.
그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.
(여기서 는 분쇄곱이다.) 그렇다면, 다음과 같은 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이 성립한다.
즉, KR군은 오직 에만 의존한다. 보통
으로 표기한다. 특히, 은 ‘차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.
실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다.
응용
끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.[1]:§6
역사
1966년에 마이클 아티야가 도입하였다.[2] 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 K이론에서 딴 것이다. (이는 독일어: Klasse 클라세[*]의 첫 글자이다.) ‘R’는 영어: real 리얼[*]의 첫 글자이다.
각주
- ↑ Olsen, Kasper; Szabo, Richard J. (1999). “Constructing D-branes from K-theory” (영어). arXiv:hep-th/9907140.
- ↑ Atiyah, Michael Francis (1966). “K-theory and reality”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 17 (1): 367–386. doi:10.1093/qmath/17.1.367. ISSN 0033-5606. MR 0206940.
외부 링크
- “KR cohomology theory”. 《nLab》 (영어).