Persilangan (geometri)

Dalam geometri, persimpangan ialah titik, garisan atau lengkung biasa yang dikongsi dua atau lebih objek (seperti garis, lengkung, satah dan permukaan). Kes termudah dalam geometri Euclid ialah persilangan dua garisan yang berbeza, yang sama ada satu titik atau tidak wujud jika garis itu selari.

Penentuan persilangan flat – objek geometri linear tertanam dalam ruang dimensi lebih tinggi – ialah satu permasalahan lazim algebra linear, iaitu penyelesaian bagi suatu sistem persamaan linear. Secara umum, penentuan persilangan membawa kepada persamaan bukan linear, yang boleh diselesaikan secara berangka, contohnya dengan lelaran Newton. Masalah persilangan antara garis dan keratan kon (bulatan, elips, parabola, hiperbola) atau kuadrik (sfera, silinder, hiperboloid, dll.) membawa kepada persamaan kuadratik yang boleh diselesaikan dengan mudah. Persilangan antara kuadrik membawa kepada persamaan kuartik yang boleh diselesaikan secara algebra.

Penentuan titik persilangan dua garis tak selari:

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

boleh diperolehi dengan peraturan Cramer atau dengan menggantikan satu pemboleh ubah, dengan koordinat titik persilangan ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$ ialah:

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(Jika ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$ garisan-garisan adalah selari, dan formula tidak dapat dipakai kerana akan melibatkan pembahagian dengan sifar.)

Bagi dua segmen garis tak selari, ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ and ${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$, persilangan tidak semestinya ada (lihat rajah) kerana titik persilangan ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ bagi garis tidak terkandung dalam segmen. Untuk menilai sama ada itu berlaku, perwakilan parameter di bawah boleh digunakan:

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

Segmen garis bersilang hanya pada titik ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ sekiranya parameter ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ memenuhi syarat ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$.

Parameter ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ ialah penyelesaian bagi sistem linear

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

Ini boleh diselesaikan bagi s serta t dengan peraturan Cramer. Sekiranya keadaan ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ dipenuhi, ${\displaystyle s_{0}}$ atau ${\displaystyle t_{0}}$ boleh dimasukkan dalam perwakilan parameter dan titik persilangan, ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ dapat dicari.

Contoh: Bagi segmen garis ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$ dan ${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$, sistem linear diperoleh seperti di bawah,

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

dan ${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$. Maka, titik persilangan ialah ${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$.

Tambahan: Dengan garis, berbanding segmen, ditentukan sebagai pasangan titik, setiap keadaan ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ boleh diabaikan dan kaedah digunakan akan memberi titik persilangan.

• Persamaaan garis