Cirkelprobleem van Gauss

In de wiskunde is het cirkelprobleem van Gauss de vraag naar het aantal punten op een rooster dat binnen een cirkel ligt met straal ${\displaystyle r}$ en de oorsprong als middelpunt.^[1] Het probleem is genoemd naar Carl Friedrich Gauss, die als eerste met een oplossing kwam.

Noem deze waarde ${\displaystyle N(r)}$. Het is in te zien dat ${\displaystyle N(r)\approx \pi r^{2}}$, ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de cirkel.

Beschouw een cirkel in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ met het middelpunt in de oorsprong en straal ${\displaystyle r}$. Het gaat erom het aantal punten ${\displaystyle N(r)}$ te berekenen met coördinaten ${\displaystyle (m,n)}$, dat binnen deze cirkel ligt en waarvan ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ beide gehele getallen zijn. De vergelijking van deze cirkel in cartesiaanse coördinaten is:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$,

zodat de vraag dezelfde is als hoeveel paren gehele getallen ${\displaystyle (m,n)}$ er zijn waarvoor

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}}$

Voor bijvoorbeeld ${\displaystyle r=2}$ liggen de 13 paren ${\displaystyle (0,0),(\pm 1,0),(\pm 1,\pm 1),(0,\pm 1),(\pm 2,0),(0,\pm 2)}$ binnen de cirkel.

Voor ${\displaystyle r=0,1,2,\ldots ,10}$ zijn de gevraagde aantallen ${\displaystyle N(r)}$:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317^[2]

De waarde van ${\displaystyle N(r)}$ kan door verschillende reeksen worden gegeven, bijvoorbeeld met behulp van de entier:^[3]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{k=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+3}}\right\rfloor \right)}$

Een eenvoudiger formule maakt gebruik van het aantal manieren ${\displaystyle r_{2}(n)}$ om ${\displaystyle n}$ te schrijven als de som van twee kwadraten. Dan is:^[4]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)}$

met

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

waarin ${\displaystyle d_{1}(n)}$ het aantal getallen is waar ${\displaystyle n}$ door kan worden gedeeld en die modulo 4 congruent zijn met 1 en ${\displaystyle d_{3}(n)}$ het aantal getallen is waar ${\displaystyle n}$ door kan worden gedeeld die modulo 4 congruent zijn met 3.