In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de -de differentiaalvergelijking van Laguerre:
Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.
Definitie
De -de laguerre-polynoom is een polynoom van de graad die gegeven wordt door de rodriguez-formule:
Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:
Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij -de laguerre-polynoom een factor ( faculteit) groter is.
De eerste laguerre-polynomen zijn:
0
1
2
3
4
5
6
Recursie
Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:
en
Orthogonaliteit
Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:
Er geldt:
met
de kronecker delta
Contourintegraal
De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:
Gegeneraliseerde laguerre-polynomen
De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking
worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.
De formule van Rodriguez voor deze polynomen is
De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:
De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn: