Struve-functie

In de wiskunde is de Struve-functie een speciale functie die in 1882 werd geïntroduceerd door de astronoom Hermann Struve tijdens zijn theoretisch onderzoek van diffractieverschijnselen^[1] in de optica. De functie heeft inmiddels toepassingen gevonden in de wiskunde, de optica, de hydrodynamica en de akoestiek. De functie wordt meestal voorgesteld door ${\displaystyle H_{\nu }(z)}$ waarin ${\displaystyle \nu }$ de orde aangeeft. De Struve-functie beschrijft oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking.

De Struve-functie ${\displaystyle H_{\nu }(z)}$ van de eerste soort is een particuliere oplossing van de volgende inhomogene besselse differentiaalvergelijking met speciaal tweede lid

${\displaystyle z^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}y}{{\rm {d}}z^{2}}}+z{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}z}}+\left(z^{2}-\nu ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}}$

waarin ${\displaystyle \Gamma }$ de Gammafunctie voorstelt. Het complexe getal ${\displaystyle \nu }$ geeft de orde aan van de Struve-functie en is meestal een geheel getal.

Struve-functies, aangeduid als ${\displaystyle H_{\nu }(z)}$, kunnen weergegeven worden door de volgende machtreeksen.

${\displaystyle H_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k+\nu +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+\nu +1}}$

waarin ${\displaystyle \Gamma (x)}$ de Gammafunctie is.

${\displaystyle H_{0}(z)={\frac {2}{\pi }}\left(z-{\frac {z^{3}}{1^{2}\cdot 3^{2}}}+{\frac {z^{5}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}}-\ldots \right)}$

${\displaystyle H_{1}(z)={\frac {2}{\pi }}\left({\frac {z^{2}}{1^{2}\cdot 3}}-{\frac {z^{4}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}}+{\frac {z^{6}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}}-\ldots \right)}$

Struve-functie kunnen ook door een integraal voorgesteld worden voor ${\displaystyle \Re (\nu )>-1/2}$

${\displaystyle H_{\nu }(z)={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(z\cos \theta )\sin ^{2\nu }(\theta ){\rm {d}}\theta .}$

Een andere voorstelling krijgt men door de substitutie ${\displaystyle t=\cos(\theta )}$.

${\displaystyle H_{\nu }(z)={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\sin \left(zt\right){\rm {d}}t}$

De Struve functie voldoet aan de volgende recursierelaties:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\nu -1}(z)+H_{\nu +1}(z)&={\frac {2\nu }{z}}H_{\nu }(z)+{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {3}{2}}\right)}},\\H_{\nu -1}(z)-H_{\nu +1}(z)&=2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}H_{\nu }(z)-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {3}{2}}\right)}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}H_{0}}{{\rm {d}}z}}={\tfrac {1}{2}}\pi -H_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z^{\nu }H_{\nu }\right)=z^{\nu }H_{\nu -1}}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z^{-\nu }H_{\nu }\right)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\nu }\Gamma \left(\nu +{\frac {3}{2}}\right)}}-z^{-\nu }H_{\nu +1}(z)}$

Uit de vierde recursieformule volgt onmiddellijk de integraal:

${\displaystyle \int _{0}^{a}z\,H_{0}(z)\,{\rm {d}}z=aH_{1}(a)}$.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{-1}H_{0}(t)\,{\rm {d}}t={\tfrac {1}{2}}\pi }$

De volgende integraal wordt ook wel de Struve-integraal genoemd:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}\int _{z}^{\infty }t^{-2}\,H_{1}(t)\,{\rm {d}}t={\frac {2}{\pi z}}H_{1}(z)+{\frac {2}{\pi }}\int _{z}^{\infty }t^{-1}H_{0}(t)\,{\rm {d}}t}$

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{z}^{\infty }t^{-1}H_{0}(t)\,{\rm {d}}t=1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}\left(z-{\frac {z^{3}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}}+{\frac {z^{5}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 5}}-\ldots \right)}$

Voor kleine ${\displaystyle z}$ gebruikt men de gegeven bovenstaande machtreeksontwikkeling.

Voor grote ${\displaystyle z}$ verkrijgt men:

${\displaystyle H_{\nu }(z)-Y_{\nu }(z)\to {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -1}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{\nu -3}\right),}$

waarin ${\displaystyle Y_{\nu }(z)}$ de besselfunctie van de tweede soort van de orde ${\displaystyle \nu }$ is. Alleen de eerste term van deze expansie is weergegeven.

In de wetenschappelijke literatuur vindt men vele benaderingsformules voor de Bessel- en de Struve-functies. De meeste daarvan splitsen het gebied van ${\displaystyle z}$ op in een gebied waar ${\displaystyle z}$ klein is en een gebied waar ${\displaystyle z}$ groot is. Zo publiceerde J. Newman^[2] nauwkeurige veeltermbenaderingen voor ${\displaystyle z<3}$ en voor ${\displaystyle z>3}$. Een effectieve benadering^[3] voor ${\displaystyle H_{1}}$, die geldig is voor alle waarden van ${\displaystyle z\geq 0}$ met een maximale absolute fout van 0,0049, wordt gegeven door de volgende uitdrukking:

${\displaystyle H_{1}(z)\approx {\frac {2}{\pi }}-J_{0}(z)+\left({\frac {16}{\pi }}-5\right){\frac {\sin z}{z}}+\left(12-{\frac {36}{\pi }}\right){\frac {1-\cos z}{z^{2}}}}$

waarin ${\displaystyle J_{0}(z)}$ de besselfunctie van de eerste soort en orde 0 is. Met behulp van de vierde recursieformule kan men dan een benadering voor ${\displaystyle H_{0}}$ krijgen met een maximale absolute fout van 0,0063. Door gebruik te maken van een soortgelijke maar verbeterde methode kon de nauwkeurigheid voor ${\displaystyle H_{0}}$ en ${\displaystyle H_{1}}$ opgevoerd worden tot een maximale absolute fout van respectievelijk 0,00125 en 0,00185.^[4] De verbeterde nauwkeurigheid opent de weg naar nauwkeuriger benaderingen voor de hogere orde Struve-functies ${\displaystyle H_{\nu }(z)}$ met ${\displaystyle \nu =2,3,\ldots }$ en dit met behulp van de eerste recursieformule.

Milton Abramowitz & Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York; isbn 978-0-486-61272-0 1972.

• Struve functies op the Wolfram functies website.
• Struve functions and related functions