In de wiskunde is de Struve-functie een speciale functie die in 1882 werd geïntroduceerd door de astronoom Hermann Struve tijdens zijn theoretisch onderzoek van diffractieverschijnselen[1] in de optica. De functie heeft inmiddels toepassingen gevonden in de wiskunde, de optica, de hydrodynamica en de akoestiek. De functie wordt meestal voorgesteld door waarin de orde aangeeft. De Struve-functie beschrijft oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking.
Definitie
Verloop van de functie voor
De Struve-functie van de eerste soort is een particuliere oplossing van de volgende inhomogene besselse differentiaalvergelijking met speciaal tweede lid
waarin de Gammafunctie voorstelt. Het complexe getal geeft de orde aan van de Struve-functie en is meestal een geheel getal.
Reeksontwikkeling
Struve-functies, aangeduid als , kunnen weergegeven worden door de volgende machtreeksen.
waarin de Gammafunctie is.
Integraalvoorstelling
Struve-functie kunnen ook door een integraal voorgesteld worden voor
Een andere voorstelling krijgt men door de substitutie .
Recursieformules
De Struve functie voldoet aan de volgende recursierelaties:
Integralen
Uit de vierde recursieformule volgt onmiddellijk de integraal:
.
De volgende integraal wordt ook wel de Struve-integraal genoemd:
Asymptotische ontwikkeling
Voor kleine gebruikt men de gegeven bovenstaande machtreeksontwikkeling.
Voor grote verkrijgt men:
waarin de besselfunctie van de tweede soort van de orde is. Alleen de eerste term van deze expansie is weergegeven.
Benaderende formules
In de wetenschappelijke literatuur vindt men vele benaderingsformules voor de Bessel- en de Struve-functies. De meeste daarvan splitsen het gebied van op in een gebied waar klein is en een gebied waar groot is. Zo publiceerde J. Newman[2] nauwkeurige veeltermbenaderingen voor en voor . Een effectieve benadering[3] voor , die geldig is voor alle waarden van met een maximale absolute fout van 0,0049, wordt gegeven door de volgende uitdrukking:
waarin de besselfunctie van de eerste soort en orde 0 is. Met behulp van de vierde recursieformule kan men dan een benadering voor krijgen met een maximale absolute fout van 0,0063. Door gebruik te maken van een soortgelijke maar verbeterde methode kon de nauwkeurigheid voor en opgevoerd worden tot een maximale absolute fout van respectievelijk 0,00125 en 0,00185.[4] De verbeterde nauwkeurigheid opent de weg naar nauwkeuriger benaderingen voor de hogere orde Struve-functies met en dit met behulp van de eerste recursieformule.
Literatuur
Milton Abramowitz & Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York; isbn 978-0-486-61272-0 1972.
Externe links
Struve functies op the Wolfram functies website.
Struve functions and related functions
Bronnen, noten en/of referenties
↑Struve, H., Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren Ann. Physik Chemie 17 (13): 1008-1016, 1882.
↑J. Newman, Approximations for the Bessel and Struve functions, Mathematics of Computing, vol.43, nr. 168, pp. 551-556, oktober 1984
↑*Ronald M. Aarts en Augustus J.E.M. Janssen, Approximation of the Struve function occurring in impedance calculations, J. Acoust. Soc. Am.,vol. 113 , nr.5 ,pp. 2635–2637, mei 2003
↑*Ronald M. Aarts en Augustus J.E.M. Janssen, Efficient approximation of the Struve functions occurring in the calculation of sound radiation quantities, J. Acoust. Soc. Am.,vol. 140 , nr.6 ,pp. 4154-4160, december 2016