In de lineaire algebra is vectorprojectie de loodrechte projectie in een euclidische ruimte van een vector op een andere. De vector wordt ontbonden in een component langs de andere vector en een component loodrecht daarop. De vectorprojectie vindt een toepassing in de gram-schmidtmethode voor het bepalen van een orthonormale basis in een vectorruimte.
Methode
De loodrechte projectie van de vector
op de vector
in een euclidische ruimte is de vector:
![{\displaystyle \mathbf {x} _{//}={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\ \mathbf {y} =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} _{y}\rangle \ \mathbf {e} _{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277d9f15acbb5ab9495ada23d5b75c693350e5d6)
Daarin is
het standaardinproduct,
de eenheidsvector in de richting van
, en
de lengte van
.
Het verschil van
en de projectie van
op
,
![{\displaystyle \mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {x} -\mathbf {x} _{//}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35f4519101a354f79aff14f0793cd83f69a806f)
is een vector loodrecht op
. Er geldt immers:
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\ \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -\langle {\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\ \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801a681a9663767f29b4fd5ad542aa153f5592c3)
De vector
is dus ontbonden in de twee onderling orthogonale componenten, in
in de richting van
en
loodrecht op
:
![{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{//}+\mathbf {x} _{\perp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3856cef07a8aae9f4d8edd8ad8bd61993a9c9459)