Fermi-Dirac statistikk

Fermi-Dirac statistikk benyttes i statistisk fysikk til å beskrive egenskapene til et stort antall indentiske partikler som oppfyller Paulis eksklusjonsprinsipp. De kan bevege seg fritt og er i termisk likevekt. Dette gjelder oftest elektroner i metaller eller nøytroner i stjerner. Den tilsvarende, statistiske sannsynlighetsfordelingen ble funnet samtidig i 1926 av den italienske fysiker Enrico Fermi og den engelske fysiker Paul Dirac. Hvis n_r  er det midlere antall partikler som har energi E_r  ved temperaturen T, kan den skrives som

${\displaystyle {n_{r} \over g_{r}}={1 \over {e^{(E_{r}-\mu )/k_{B}T}+1}}}$

hvor μ  er partiklenes kjemiske potensial og k_B  er Boltzmanns konstant. I tillegg er g_r  et tall som angir hvor mange kvantetilstander energinivået E_r  inneholder.

Mens Fermi-Dirac statistikk gjelder for fermioner som har halvtallig spinn s = 1/2, 3/2 og så videre, gjelder Bose-Einstein statistikk for bosoner. De har heltallig spinn hvorav de mest kjente er helium med s = 0 og fotonet med s = 1. Begge er eksempel på det som omtales som kvantestatistikker da kvantemekanikken bestemmer deres egenskaper. Ved tilstrekkelig høye temperaturer går de over til Maxwell-Boltzmann statistikk hvor partiklene følger klassisk mekanikk.

Spesielt Fermi-Dirac statistikk har praktisk betydning da den ligger til grunn for ledning av elektrisk strøm som skjer ved transport av elektroner. Uten denne manifestasjon av fundamental kvantemekanikk ville ikke moderne elektronikk ha vært mulig.

Paulis eksklusjonsprinsipp sier at to fermioner ikke kan befinne seg i samme kvantetilstand. Disse er løsninger av Schrödinger-ligningen for hver enkelt partikkel. Den gir de mulige egenverdiene E_r  som energien til hver av dem kan ha. Hvis ligningen er uavhengig av partikkelens spinn s, vil det finnes g = 2s + 1 kvantetilstander med denne energien tilsvarende de kvantiserte retningene til spinnet. Man sier at denne egenverdien er «degenerert» siden flere egenverdier har falt sammen til én.^[1]

I sin opprinnelig utledning av denne kvantestatistikken betraktet Enrico Fermi fermioner som befinner seg i et tredimensjonalt, harmonisk oscillatorpotensial. Schrödinger-ligningen gir da egenverdier

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\hbar \omega (n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2)}$

hvor ω  er vinkelfrekvensen til oscillatoren, ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten og (n_x,n_y,n_z) er kvantetall som hver kan ta verdiene 0, 1, 2 og så videre. Laveste energinivå eller «grunntilstanden» er derfor gitt som (0, 0, 0) med energi E₀ = (3/2)ħω. Første, eksiterte nivå har energien E₁ = (5/2)ħω, men inneholder tre tilstander (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1). Dets degenerasjon er derfor g₁ = 3. Generelt kan energien til hvert energinivå skrives som E_r = ħω(r + 3/2) med degenerasjon g_r = (r + 1)(r + 2)/2 hvor det effektive kvantetallet r = 0, 1, 2 og så videre.^[2]

En klassisk partikkel med masse m  har energi E = p²/2m  når den har impulsen p. Kvantemekanisk må man da tenke seg at den beveger seg fritt innen et makroskopisk stort volum V = L³. Hvis den skal ha null sannsynlighet for å ikke kunne finnes utenfor dette, må veggene til volumet beskrives som hardt frastøtende. Det tilsvarer at den befinner seg i et uendelig dypt, tredimensjonalt kassepotensial med sidekanter L. Dens kvantiserte energier blir da

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}$

hvor komponentene til vektoren n = (n_x,n_y,n_z) er de tre kvantetallene som er positive heltall.^[1]

Når sidekanten L  er stor, vil alle egenverdiene kunn angis med punkt som ligger tett på et kubisk gitter. Antall tilstander med energier mellom E  og E  + dE , er da gitt av antall punkt i første kvadrant med kvantetalll mellom n  og n  + dn  hvor n² = n ⋅ n. Denne degenerasjonen blir da

${\displaystyle {1 \over 8}\cdot 4\pi n^{2}dn={V \over 4\pi ^{2}}\left({2m \over \hbar ^{2}}\right)^{3/2}E^{1/2}dE}$

når man benytter sammenhengen ${\displaystyle E=(\hbar ^{2}\pi ^{2}/2mL^{2})n^{2}.}$ Dette er i overenstemmelse med ${\displaystyle Vd^{3}p/h^{3}=4\pi Vp^{2}dp/(2\pi \hbar )^{3}}$ som også benyttes for partikler som følger Maxwell-Boltzmann statistikk. I tillegg kommer en multiplikativ spinn-degenerasjon 2s + 1 som gir en ekstra faktor 2 for elektroner og nukleoner som har s = 1/2. Dette resultatet for antall mikrotilstander kan alternativt finnes ved bruk av periodiske grensebetingelser for bølgefunksjonen istedenfor å anta harde vegger i et kassepotensial som gjort her.

Ved en beskrivelse av de fysiske egenskapene til et stort antall identiske partikler er det umulig å følge hver enkelt partikkel. I statistisk mekanikk kan man i stedet beregne sannsynlighetsfordelinger for at grupper av partiklene opptrer med bestemte egenskaper. Dette ble først gjennomført for frie partikler som følger Maxwell-Boltzmann statistikk.

Omtrent samme fremgangsmåte kan også benyttes for frie fermioner. Selv om det ikke er noen krefter som virker mellom dem, vil de likevel være påvirket av hverandre på grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp. Det sier at fermioner ikke kan opptre i samme kvantetilstand. Hvis de da befinner seg i et åpent volum, kan ikke to slike partikler være på samme sted hvis de samtidig har spinn som er like. Resultatet kan da sies å være at de holder seg borte fra hverandre på grunn av en fiktiv «Pauli-kraft» som virker frastøtende.^[3]

Et system med N  fermioner vil fordele seg over de forskjellige energinivåene på en slik måte at fordelingen har den største sannsynlighet. Denne er proporsjonal med hvor mange ganger man kan fordele n₀  partikler i laveste nivå E₀  samtidig som det er n₁  partikler i neste nivå E₁  og så videre. Hvis man betrakter et slikt nivå E_r  som består av g_r  kvantetilstander, har den første partikkelen i dette nivået g_r  tilgjengelige tilstander. Den neste kan da fylle én av de g_r - 1 ledige tilstandene uten å være i konflikt med Pauli-prinsippet. Med to partikler i dette nivået, er det nå i alt g_r (g_r - 1)/2 mulige plasseringer av de to første partiklene da de er identiske. Med i alt n_r  partikler på dette nivået kan de dermed plasseres på

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{r}&=g_{r}(g_{r}-1)(g_{r}-2)\cdots (g_{r}-n_{r}+1)/n_{r}!\\&={g_{r}! \over (g_{r}-n_{r})!\,n_{r}!}\end{aligned}}}$

forskjellige måter. Det totale antall tilstander som denne fordelingen av alle N  partikler kan befinne seg i, er derfor produktet

${\displaystyle W=W_{0}W_{1}W_{2}\cdots =\prod _{r}W_{r}}$

Herav kan den mest sannsynlige fordelingen finnes ved å maksimalisere W  med bibetingelsen at antalll partikler ${\displaystyle N=\sum _{r}n_{r}}$ er gitt samtidig som at den totale energien ${\displaystyle E=\sum _{r}n_{r}E_{r}}$ holdes konstant. Dette kan gjøres på samme vis som for Maxwell-Boltzmann fordelingen. Fra Boltzmanns ligning ${\displaystyle S=k_{B}\ln W}$ for systemets entropi, vil denne fordelingen med maksimal sannsynlighet også da ha maksimal entropi i overensstemmelse med termodynamikkens andre lov.^[4]

Ved bruk av Stirlings formel ${\displaystyle \ln n!=n\ln n-n,}$ er

${\displaystyle \ln W=\sum _{r}[g_{r}\ln g_{r}-n_{r}\ln n_{r}-(g_{r}-n_{r})\ln(g_{r}-n_{r})]}$

Maksimum av dette antallet kan finnes ved bruk lav variasjonsregning der man foretar en lliten forandring ${\displaystyle n_{r}\rightarrow n_{r}+\delta n_{r}}$ av okkupasjonstallene. Det betyr at den resulterende forandringen

${\displaystyle \delta \ln W=\sum _{r}[\,\ln(g_{r}-n_{r})-\ln n_{r}]\delta n_{r}}$

skal være null samtidig som at bibetingelsene er oppfylte. Det kan gjøres ved å innføre to Lagrange-multiplikatorer α  og β  slik at kravet for et maksimum blir at den totale varriasjonen ${\displaystyle \delta (\ln W-\alpha N-\beta E)=0.}$ Det gir

${\displaystyle \ln n_{r}-\ln(g_{r}-n_{r})+\alpha +\beta E_{r}=0}$

Det gir Fermi-Diracs resultat

${\displaystyle n_{r}={g_{r} \over {e^{\alpha +\beta E_{r}}+1}}}$

for okkupasjonstallene av fermioner når de er i termisk likevekt. De to ukjente størrelsene α  og β  kan bestemmes fra hva fordelingen gir ved høy temperatur når den skal. være i overensstemmelse med klassisk Maxwell-Boltzmann statistikk. Det gir β = 1/k_BT  og α = - μ/k_BT  hvor μ  er det kjemisk potensial for systemet av partikler.^[3]

Istedenfor å bestemme den mest sannsynlige fordeling av partiklene, kan man anta at systemet befinner seg i termisk likevekt. Det har da en viss temperatur T  som blir vedlikeholdt ved at det utveksles energi og et visst kjemisk potensial μ  ved at det utveksles partikler med omgivelsene. For eksempel når en partikkel med energi E_r  blir overført fra omgivelsene til systemet, er den eneste forandringen i okkupasjonstalene at n_r → n_r + 1. Det medfører en tilsvarende forandring i systemets entropi,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S&=k_{B}\ln {g_{r}! \over (g_{r}-n_{r}-1)!\,(n_{r}+1)!}-k_{B}\ln {g_{r}! \over (g_{r}-n_{r})!\,n_{r}!}\\&=k_{B}\ln {g_{r}-n_{r} \over n_{r}+1}\end{aligned}}}$

Her kan man i nevneren til logaritmen la n_r + 1 → n_r  som allerede er anvendt ved bruken av Stirlings formel. Denne entropiforandringen skjer samtidig med en forandring ΔU = E_r  i systemets indre energi og en økning ΔN = 1  i antall partikler som det inneholder. Fra termodynamikkens første lov er disse tre forandringene forbundet ved T ΔS = ΔU - μ ΔN = E_r - μ. Det betyr nå at

${\displaystyle {n_{r} \over g_{r}}={1 \over {e^{(E_{r}-\mu )/k_{B}T}+1}}}$

som er den ønskede formen av fordelingen.^[3]

• Maxwell-Boltzmann statistikk
• Bose-Einstein statistikk