Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:
![{\displaystyle \int f(x)g(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096626db0f586b938b424a8a00a287e5435ef484)
Jeśli potrafimy znaleźć takie
że
to możemy przekształcić tę całkę do postaci[1]:
![{\displaystyle \int f(x)g(x)dx=\int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051bd058050f1d438c8860c4fa9d982a4764ee1d)
W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}h'(x)g(x)dx=\left[h(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}h(x)g'(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa1a4eff4c34e8836f4a2bc20b6bd4536546a10)
Często stosuje się zapis skrócony wzoru:
![{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ce0686d70ee3ae538a81490bb366dd73930676)
Dowód
Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:
![{\displaystyle \left(h(x)g(x)\right)'=h(x)g'(x)+h'(x)g(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff55f6d0fcf0ad157c45cd4ea7f0c1a5cd8c2fd)
![{\displaystyle h'(x)g(x)=\left(h(x)g(x)\right)'-h(x)g'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444f673c279da392b79e565c9cd4beb2e2b51936)
![{\displaystyle \int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c221b1aaafe1b6d618d55a399565ee4c4816cdff)
Całki pętlące się (zwrotne)
W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:
![{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e5a486ee2cab26eb49d4821c0069eafc18715c)
Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc
![{\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acd9ed650f437ee6e987cccccec431737a3cd28)
![{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx={\tfrac {1}{2}}e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c221752a88c0b4dedf51d86da108faf4006c648f)
Zobacz też
| Zobacz hasło całkowanie przez części w Wikisłowniku |
Przypisy
- ↑ całkowy rachunek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .
Linki zewnętrzne
Helena Kazieko, Całkowanie przez części, kanał Nauka / Science SGGW na YouTube, 5 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].
Całki
typy całek | |
---|
metody całkowania nieoznaczonego | |
---|
metody całkowania oznaczonego | |
---|
twierdzenia | |
---|