Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.
Definicja
Niech będzie przestrzenią topologiczną, oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta
Funkcję nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:
- jest operatorem samosprzężonym dla
- Funkcja jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.
Własności
Niech będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej
- dla
- Jeżeli są rozłączne, to oraz
- Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej operator
- jest liniowy i ciągły, a jeżeli to także samosprzężony. Ponadto
- oraz dla ograniczonych funkcji borelowskich.
- Jeśli jest zwartą przestrzenią metryczną oraz są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów istnieje funkcja ciągła że oraz
- to
Przykład
Załóżmy, że przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna tej przestrzeni. Dalej, niech będzie zbiorem zwartym oraz różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:
Wówczas operator dany wzorem
jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo
Funkcja dana wzorem
gdzie oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz
Literatura
- Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972. Brak numerów stron w książce