Kategoria Lusternika-Sznirelmanna
Rys historyczny
Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została zdefiniowana na początku lat trzydziestych XX wieku przez dwóch matematyków rosyjskich: Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana. Posłużyła im ona do udowodnienia słynnego twierdzenie Lusternika-Sznirelmanna, szacującego z dołu liczbę punktów krytycznych rzeczywistych funkcji gładkich określonych na gładkich rozmaitościach.
Definicja
Kategorią Lusternika-Sznirelmanna zbioru w przestrzeni topologicznej nazywamy najmniejszą taką liczbę naturalną (o ile istnieje), że:
gdzie każdy zbiór jest otwarty i ściągalny w Stosujemy przy tym oznaczenie
Jeśli takie nie istnieje, to przyjmujemy
Ponadto oznaczamy i nazywamy po prostu kategorią przestrzeni
Pokrycie nazywamy wtedy kategoryjnym.
Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotne zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych, ale jak się okaże obie kategorie są równe dla dosyć sporej klasy przestrzeni topologicznych.
Podstawowe własności
Wprost z definicji kategorii wynika, że ma ona następujące własności:
- wtedy i tylko wtedy, gdy jest ściągalny w
- wtedy i tylko wtedy, gdy jest ściągalna;
- jeśli to
- o ile są otwarte w
- jeśli jest homeomorfizmem, to
dla
Przykłady
dla każdego gdyż sfery nie są ściągalne, a każdą można przedstawić w postaci sumy gdzie
W podobny bardzo łatwy sposób można pokazać, że bukiet dowolnej ilości sfer, z których każda ma wymiar dodatni całkowity ma kategorię równą 1.
Powyższe rozważania można uogólnić na produkt złączony szerszej klasy przestrzeni topologicznych. Mianowicie jeśli oraz są normalnymi, łukowo spójnym przestrzeniami z niezdegenerowanymi punktami bazowymi, to:
gdzie oznacza n-wymiarowy torus. W jedną stronę jest to trywialne. Niech będą różnymi punktami sfery Wtedy
a każdy z tych zbiorów jest ściągalny jako homeomorficzny z co daje nierówność
Przykładem przestrzeni mającej nieskończoną kategorię jest dowolna nieskończona przestrzeń dyskretna. Natomiast mogą istnieć przestrzenie, których kategoria jest nieskończona bo nie mają one otwartego pokrycia zbiorami ściągalnymi. Przykładem takiej przestrzeni jest pawie oczko, tj. suma okręgów stycznych wewnętrznie w punkcie o promieniach równych dla Wtedy każdy zbiór otwarty zawierający punkt nie może być ściągalny, gdyż zawiera nieskończenie wiele wspomnianych okręgów.
Ponadto mamy:
Homotopijna niezmienniczość
Kategoria Lusternika-Szniremanna jest niezmiennikiem homotopijnym co wynika wprost z następującego twierdzenia:
Jeśli przestrzeń topologiczna homotopijnie dominuje nad to
Dowód:
Niech będzie pokryciem kategoryjnym przestrzeni X. Skoro X dominuje nad Y, to istnieją takie odwzorowania ciągłe oraz że Zbiory są ściągalne w X dla zatem dla każdego istnieje homotopia
taka, że oraz dla pewnego Niech teraz dla Zbiory są otwarte w oraz Wystarczy więc pokazać, że są one ściągalne w Ponieważ to istnieje homotopia
taka, że oraz dla każdego Zdefiniujmy teraz dla każdego funkcję następująco
Funkcja ta jest ciągła oraz zauważmy, że i dla każdego oraz Tak więc funkcje ustalają ściągnięcie w zatem jest otwartym pokryciem przestrzeni zbiorami ściągalnymi w Z tego mamy, że
Rzeczy przydatne do obliczania
Jedną z podstawowych technik służącą do obliczania kategorii jest stosowanie tzw. ciągów kategoryjnych, tj. ciąg otwartych podzbiorów przestrzeni nazywamy kategoryjnym długości dla zbioru otwartego jeśli:
1)
2)
3) zbiory są zawarte w pewnych otwartych i ściągalnych w zbiorach.
Zachodzi przy tym twierdzenie:
Jeśli jest łukowo spójna oraz jest otwarty, to zbiór posiada otwarty ciąg kategoryjny w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy
Często przy obliczaniu kategorii przydatne są grupy kohomologii singularnych danej przestrzeni. Wykorzystuje się tzw. długość kohomoligczną przestrzeni topologicznej, którą definiujemy jako największą liczbę naturalną taką, że istnieją takie, że:
- I stosujemy oznaczenie
Mamy przy tym twierdzenie:
Dla dowolnego pierścienia przemiennego z jedynką P zachodzi
Stąd przykładowo natychmiast otrzymujemy oszacowanie z dołu kategorii -wymiarowego torusa.
Związki z wymiarem oraz iloczynem
Niektóre związki kategorii z wymiarem oraz iloczynem kartezjańskim można zawrzeć w następujących twierdzeniach:
Jeśli są łukowo spójne oraz takie, że jest T_5 (tj. każda podprzestrzeń jest normalna), to
Jeśli jest łukowo spójną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz to
Analogiczne twierdzenie zachodzi jeśli X jest łukowo spójna oraz parazwarta.
Zastosowania
Kategoria Lusternika-Sznirelmanna ma zastosowania w topologii algebraicznej, różniczkowej oraz w geometrii różniczkowej. Jest stosowana m.in. przy badaniu geodezyjnych zamkniętych. Jednak jej chyba najważniejszym zastosowaniem jest szacowanie z dołu ilości punktów krytycznych na gładkich i zwartych rozmaitościach. Mianowicie jeśli M jest gładką i zwartą rozmaitością, a funkcją klasy to
gdzie oznacza zbiór punktów krytycznych funkcji
Pewne modyfikacje
Kategoria domknięta
Jak zostało wspomniane na początku kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotnie zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych. Jeżeli w definicji kategorii zbiory otwarte zamienimy na domknięte, to otrzymamy definicję kategorii domkniętej, którą oznaczamy
Podobnie jak w przypadku zwykłej kategorii także domknięta jest niezmiennkiem homotopijnym (dowód jest analogiczny).
Ponadto dla normalnych absolutnych retraktów otoczeniowych obie kategorie są równe. A więc i dla przestrzeni mających typ homotopii ANR-a (w szczególności dla CW-kompleksów).
Kategoria geometryczna
W definicji kategorii o zbiorach otwartych zakładamy, że są one ściągalne w przestrzeni w której liczymy kategorię. Można się zastanawiać dlaczego by nie rozważać definicji, w której o zbiorach będziemy zakładać, że są ściągalne w sobie.Taką kategorię nazywamy geometryczną i oznaczamy
Jednak taka kategoria ma dużą wadę, mianowicie nie jest niezmennikiem homotopijnym. Jako przykład przyjmijmy a za sferę ze zidentyfikowanymi trzema różnymi punktami. Oczywiście obie przestrzenie są homotopijnie równoważne, lecz podczas gdy
Bibliografia
- R.H. Fox, On the Lusternik-Schnirelmann category, „Annals of Mathematics” 42 (1941), 333-370.
- Samuel Eilenberg, Tudor Ganea, On the Lusternik-Schnirelmann category of abstract groups, „Annals of Mathematics”, 2nd Ser., 65 (1957), no. 3, 517–518.
- F. Takens, The minimal number of critical points of a function on compact manifolds and the Lusternik-Schnirelmann category, „Inventiones Mathematicae” 6 (1968), 197–244.
- Tudor Ganea, Some problems on numerical homotopy invariants, „Lecture Notes in Math” 249 (Springer, Berlin, 1971), s. 13–22 MR0339147
- Ioan James, On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann, „Topology” 17 (1978), 331–348.
- Kathryn Hess, A proof of Ganea’s conjecture for rational spaces, „Topology” 30 (1991), no. 2, 205–214. MR1098914
- Norio Iwase, Ganea’s conjecture on Lusternik-Schnirelmann category, in „Bulletin of the London Mathematical Society”, 30 (1998), no. 6, 623–634 MR1642747
- Norio Iwase, A∞-method in Lusternik-Schnirelmann category, „Topology” 41 (2002), no. 4, 695–723. MR1905835
- Lucile Vandembroucq, Fibrewise suspension and Lusternik-Schnirelmann category, „Topology” 41 (2002), no. 6, 1239–1258. MR1923222
- Octav Cornea, Gregory Lupton, John Oprea, Daniel Tanré, Lusternik-Schnirelmann category, „Mathematical Surveys and Monographs”, 103. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 ISBN 0-8218-3404-5.