Kryterium Gaussa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.
Kryterium
Niech dany będzie szereg liczbowy
| | | | (A) |
o wyrazach dodatnich. Jeżeli istnieją takie liczby oraz ciąg ograniczony o tej własności, że dla dostatecznie dużych zachodzi związek
to
- szereg (A) jest zbieżny, gdy lub oraz
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy lub oraz [1].
Przykład zastosowania
Niech oraz niech dany będzie szereg
Jest on zbieżny gdy oraz rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, z zastosowania wzoru Taylora wynika, że
Wynika stąd, że
gdzie ciąg jest ograniczony[1].
Dowód
Przypadki, gdy lub wynikają z zastosowania kryterium d’Alemberta, gdyż
Niech zatem Wówczas stosując kryterium Raabego:
które rozstrzyga zbieżność szeregu (A) gdy lub Niech więc W tym przypadku, szereg (A) jest rozbieżny, gdyż stosując kryterium Bertranda:
dostaje się
- [1].
Przypisy
Bibliografia
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.