Kryterium Schlömilcha zagęszczające
Kryterium Schlömilcha zagęszczające – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.
Kryterium
Niech dany będzie szereg liczbowy
(A) |
którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz dla wszelkich Ponadto niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych
o tej własności, że
dla pewnego oraz wszystkich Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
- [1].
Konsekwencje
Biorąc
otrzymuje się kryterium Cauchy’ego zagęszczające[2].
Przykład zastosowania
Szereg
jest zbieżny. Istotnie, biorąc
mamy
dla wszelkich n. Oznacza to, że kryterium Schlömilcha zagęszczające się stosuje. Zatem rozważany szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
Zbieżność powyższego szeregu wynika z kryterium d’Alemberta, a więc wyjściowy szereg jest istotnie zbieżny[3].
Przypisy
- ↑ Bonar i Khoury 2006 ↓, s. 44–45.
- ↑ Bonar i Khoury 2006 ↓, s. 44.
- ↑ Bonar i Khoury 2006 ↓, s. 45.
Bibliografia
- D.D. Bonar, M. Khoury Jr., Real Infinite Series. Mathematical Association of America, Washington DC, 2006.