Metoda Bogackiego-Shampine’a

Metoda Bogackiego-Shampine’a – metoda numeryczna do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ zaproponowana przez Przemysława Bogackiego i Lawrence’a Shampine’a w 1989^[1]. Metoda Bogackiego-Shampine’a jest metodą Rungego-Kutty trzeciego rzędu z czterema współczynnikami ${\displaystyle k}$ (patrz dalej) z tzw. własnością pierwszy taki jak ostatni (ang. FSAL, first same as last), dzięki której w każdej iteracji funkcja ${\displaystyle f}$ wywoływana jest trzykrotnie. Metoda ta ma wbudowaną metodę rzędu drugiego dzięki czemu możliwa jest adaptacyjna zmiana kroku całkowania. Metoda Bogackiego-Shampine’a zaimplementowana jest jako funkcja ode23 w programie MATLAB^[2].

W ogólności metody niższego rzędu są bardziej odpowiednie niż algorytmy wyższego rzędu jak np. Metoda Dormanda-Prince’a (piątego rzędu) do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych, jeśli nie jest wymagana wysoka dokładność rozwiązania przybliżonego. Bogacki i Shampine twierdzą ponadto, że zaproponowana przez nich metoda przewyższa inne metody trzeciego rzędu z osadzonym metodami rzędu drugiego.

Tabela Butchera dla metody Bogackiego-Shampine’a wygląda następująco:

0
1/2	1/2
3/4	0	3/4
1	2/9	1/3	4/9
	2/9	1/3	4/9	0
	7/24	1/4	1/3	1/8

Rozważmy równanie różniczkowe w postaci ${\displaystyle y'=f(t,y).}$ Jeśli ${\displaystyle y_{n}}$ oznacza numeryczne rozwiązanie w chwili ${\displaystyle t_{n},}$ zaś ${\displaystyle h_{n}}$ jest krokiem czasowym zdefiniowanym jako ${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n},}$ wtedy jeden krok metody Bogackiego-Shampine’a jest dany jako:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hk_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {3}{4}}hk_{2})\\y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {2}{9}}hk_{1}+{\tfrac {1}{3}}hk_{2}+{\tfrac {4}{9}}hk_{3}\\k_{4}&=f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})\\z_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {7}{24}}hk_{1}+{\tfrac {1}{4}}hk_{2}+{\tfrac {1}{3}}hk_{3}+{\tfrac {1}{8}}hk_{4}.\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle z_{n+1}}$ jest przybliżeniem drugiego rzędu rozwiązania dokładnego. Sposób obliczania ${\displaystyle y_{n+1}}$ został wybrany za Ralstonem^[3]. Z drugiej strony ${\displaystyle y_{n+1}}$ jest przybliżeniem trzeciego rzędu, więc różnica pomiędzy ${\displaystyle y_{n+1}}$ i ${\displaystyle z_{n+1}}$ może być użyta do adaptacyjnej zmiany długości kroku całkowania. Właściwość FSAL (pierwszy jak ostatni) oznacza, że ${\displaystyle k_{4}}$ w danym kroku jest równa ${\displaystyle k_{1}}$ w kroku następnym, stąd tylko trzy wywołania funkcji ${\displaystyle f}$ są potrzebne w każdej iteracji.