Metoda złotego podziału
Metoda złotego podziału – numeryczna metoda optymalizacji jednowymiarowej funkcji celu.
Algorytm ten może być używany przy minimalizacji kierunkowej razem z innymi metodami optymalizacji funkcji wielowymiarowych, takich jak metody gradientowe (np. metoda gradientu prostego, metoda Newtona) lub bezgradientowe (np. metoda Gaussa-Seidela, metoda Powella).
Innymi metodami optymalizacji jednowymiarowej są metoda dychotomii, metoda punktu środkowego, metoda Newtona.
Zadanie optymalizacji jednowymiarowej
Niech dana będzie funkcja celu
oraz przedział w którym jest unimodalna (jest ciągła i posiada co najwyżej jedno ekstremum lokalne). Zadaniem optymalizacji jednowymiarowej funkcji jest znalezienie jej minimum w przedziale
Warto podkreślić fakt, iż algorytmy minimalizacji jednowymiarowej działają poprawnie jedynie dla przedziałów w których funkcja jest unimodalna. Jeżeli zadana funkcja nie posiada tej własności, należy znaleźć jej przedziały unimodalności i zastosować opisywaną metodę do każdego z nich.
Algorytm
Idea algorytmu
Funkcja ciągła w przedziale posiada dokładnie jedno minimum x*. Minimum to można znaleźć poprzez kolejne podziały zadanego przedziału. W tym celu należy obliczyć wartości funkcji w dwóch punktach i takich, że a następnie zbadać ich wielkości:
- Jeżeli to szukane minimum znajduje się w przedziale
- Jeżeli to szukane minimum znajduje się w przedziale
W ten sposób można dowolnie zawężać przedział w którym znajduje się minimum, aż do momentu gdy spełniony zostanie warunek:
dla ustalonej dokładności obliczeń
Wielkość otrzymanego w wyniku powyższego postępowania przedziału po krokach wynosi: gdzie jest stałym współczynnikiem o który zmniejszana jest wielkość przedziałów w kolejnych krokach algorytmu.
Złoty podział
W metodzie złotego podziału wartość współczynnika jest dobrana w taki sposób, aby przy kolejnych iteracjach wykorzystywać obliczoną w poprzednim kroku wartość funkcji jednej z dwóch próbek ( lub ). Aby osiągnąć powyższą własność, wartość współczynnika musi być równa wartości złotego podziału:
skąd wzięła się nazwa metody.
Strategię obliczania minimum funkcji można zapisać:
- Jeśli:
- Jeśli to STOP, w przeciwnym wypadku powtórz punkt 2.
Pseudokod
Algorytm można również zapisać przy pomocy poniższego kodu w języku C:
float GoldenRatioMethod( float a, float b ) { // współczynnik złotego podziału float k = ( sqrt( 5 ) - 1 ) / 2; // lewa i prawa próbka float xL = b - k * ( b - a ); float xR = a + k * ( b - a ); // pętla póki nie zostanie spełniony warunek stopu while ( ( b - a ) > EPSILON ) { // porównaj wartości funkcji celu lewej i prawej próbki if ( f( xL ) < f( xR ) ) { // wybierz przedział [a, xR] b = xR; xR = xL; xL = b - k * ( b - a ); } else { // wybierz przedział [xL, b] a = xL; xL = xR; xR = a + k * ( b - a ); } } // zwróć wartość środkową przedziału return ( a + b ) / 2; }
Zbieżność metody
Kolejne obliczane przedziały w metodzie złotego podziału są wielkości:
z czego wynika iż zbieżność metody jest liniowa (rząd zbieżności wynosi zaś współczynnik zbieżności ). Ilość iteracji potrzebna do zawężenia przedziału początkowego do zadanej dokładności wynosi:
Zobacz też
- programowanie matematyczne
- funkcja unimodalna
- metoda Newtona (optymalizacja)
- metoda Brenta (optymalizacja)
Bibliografia
- Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody Numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006.
- Stachurski A., Wierzbicki A.: Podstawy optymalizacji, Oficyna Wydawnicza PW, 1999.
Linki zewnętrzne
- https://web.archive.org/web/20080530094827/http://www.kmg.ps.pl/opt/wyklad/bezgrad/podzial.html
- http://optymalizacja.w8.pl/Jednowymiarowa.html