Retrakt deformacyjny

Retrakt deformacyjny – specjalny rodzaj retraktu przestrzeni topologicznej. Intuicyjnie, retrakt deformacyjny przestrzeni X {\displaystyle X} to taka jej podprzestrzeń Y , {\displaystyle Y,} że X {\displaystyle X} daje się w sposób ciągły „skurczyć” do Y . {\displaystyle Y.}

Definicja

Podprzestrzeń Y {\displaystyle Y} przestrzeni X {\displaystyle X} (poprzez i : Y ↪ X {\displaystyle i:Y\hookrightarrow X} oznaczamy naturalne włożenie) nazywamy retraktem deformacyjnym przestrzeni X , {\displaystyle X,} o ile istnieje przekształcenie r : X → Y , {\displaystyle r:X\to Y,} nazywane retrakcją deformacyjną, spełniające warunki:

  1. r ∘ i = id Y {\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{Y}} (tzn. r {\displaystyle r} jest retrakcją z X {\displaystyle X} do Y {\displaystyle Y} ),
  2. i ∘ r : X → X {\displaystyle i\circ r:X\to X} jest homotopijne z id X . {\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}

Jeżeli homotopia z warunku 2. jest stała na zbiorze Y × [ 0 , 1 ] , {\displaystyle Y\times [0,1],} to Y {\displaystyle Y} nazywamy mocnym retraktem deformacyjnym X . {\displaystyle X.} Część autorów retraktami deformacyjnymi nazywa jedynie mocne retrakty deformacyjne.

Równoważnie retrakcję deformacyjną można zdefiniować jako rodzinę przekształceń ciągłych { f t } t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \{f_{t}\}_{t\in [0,1]}} taką, że:

  1. ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] f t : X → X , {\displaystyle \forall _{t\in [0,1]}f_{t}:X\to X,}
  2. f 0 = id X , {\displaystyle f_{0}=\operatorname {id} _{X},}
  3. ∀ x ∈ X f 1 ( x ) ∈ Y , {\displaystyle \forall _{x\in X}f_{1}(x)\in Y,}
  4. odwzorowanie F : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F:X\times [0,1]\to X} zadane wzorem F ( x , t ) = f t ( x ) {\displaystyle F(x,t)=f_{t}(x)} jest ciągłe.

Jeśli ponadto ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] f t | Y = id Y , {\displaystyle \forall _{t\in [0,1]}f_{t}|_{Y}=\operatorname {id} _{Y},} to rodzinę { f t } t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \{f_{t}\}_{t\in [0,1]}} nazywamy mocną retrakcją deformacyjną.

Własności

  • Mocny retrakt deformacyjny jest retraktem deformacyjnym.
  • Retrakt deformacyjny przestrzeni jest jej homotopijnie równoważny.
  • Przestrzeń topologiczna jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny jej punkt jest retraktem deformacyjnym tej przestrzeni. Można jednak podać przykład przestrzeni ściągalnej takiej, że żaden jej punkt nie jest mocnym retraktem deformacyjnym tej przestrzeni.
  • Dwie przestrzenie topologiczne X , Y {\displaystyle X,Y} są homotopijnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przestrzeń Z {\displaystyle Z} taka, że X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} są retraktami deformacyjnymi Z . {\displaystyle Z.}