Test dla proporcji

Testy dla proporcji – testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez dotyczących wartości proporcji w populacji generalnej lub też do porównania wartości proporcji w kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości tej proporcji w losowej próbie (czy też dwóch lub kilku próbach) pobranych z populacji.

Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek, procent) wyrażający, jaka część elementów pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne równoważnie stosowane określenia to: frakcja, wskaźnik struktury. Na przykład jeśli w grupie ${\displaystyle n}$ osób jest ${\displaystyle m}$ palących, to proporcja osób palących w tej grupie jest równa

${\displaystyle p={\frac {m}{n}}.}$

Hipotezy dotyczące proporcji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności ${\displaystyle \alpha }$ – dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju, następnie na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego.

Postać stosowanej statystyki testowej zależy od następujących czynników:

• czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch, czy wielu proporcji,
• jaka jest liczebność próby (prób) występujących w danym zagadnieniu,
• w przypadku dwu lub więcej prób – czy próby są niezależne, czy zależne (powiązane).

Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej wykorzystywanych w poszczególnych sytuacjach.

W próbie losowej o liczebności ${\displaystyle n}$ jest ${\displaystyle m}$ elementów spełniających pewien warunek. Wówczas proporcja w próbie ${\displaystyle p={\frac {m}{n}}.}$ Chcemy sprawdzić, czy taki wynik losowania pozwala przyjąć, że w całej populacji proporcja ta ma zadaną z góry wartość ${\displaystyle p_{o}.}$ Hipotezy mają postać:

${\displaystyle H_{0}:p=p_{0},}$

${\displaystyle H_{1}{:}}$ postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia:

${\displaystyle p>p_{o}}$

(1)

${\displaystyle p<p_{o}}$

(2)

${\displaystyle p\neq p_{o}}$

(3)

Założenia: próba musi być dostatecznie duża, to znaczy jej liczebność musi spełniać warunek ${\displaystyle n>50,}$ a otrzymana wartość proporcji z próby powinna spełniać warunek: ${\displaystyle 0,2<p<0,8.}$ Można wtedy zastosować statystykę o rozkładzie normalnym.

Obliczamy:

${\displaystyle z={\frac {p-p_{o}}{\sqrt {\frac {p_{o}\cdot q_{o}}{n}}}},}$

gdzie ${\displaystyle q_{o}=1-p_{o}.}$ Jeśli hipoteza zerowa ${\displaystyle H_{0}}$ jest prawdziwa, to statystyka ${\displaystyle z}$ ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny – wynika to z Centralnego Twierdzenia Granicznego.

Wartość tak obliczonej statystyki porównujemy z wartością krytyczną (lub dwiema wartościami krytycznymi) wyznaczonymi na podstawie poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeżeli ${\displaystyle U}$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a ${\displaystyle U^{-1}}$ – funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast ${\displaystyle \alpha }$ – założonym poziomem istotności – to odczytujemy:

• dla przypadku (1):

${\displaystyle z_{kryt}=U^{-1}(1-\alpha )}$

• w przypadku (2):

${\displaystyle z_{kryt}=U^{-1}(\alpha )=-U^{-1}(1-\alpha )}$

• zaś w przypadku (3) mamy 2 wartości graniczne:

${\displaystyle z_{kryt1}=U^{-1}\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)}$

${\displaystyle z_{kryt2}=-z_{kryt1}.}$

Przedział krytyczny:

• w przypadku (1) jest prawostronny, czyli gdy ${\displaystyle z>z_{kryt}}$ – odrzucamy ${\displaystyle H_{0},}$ w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia,
• w przypadku (2) przedział krytyczny jest lewostronny (dla ${\displaystyle z<z_{kryt}}$ odrzucamy ${\displaystyle H_{0}}$),
• w przypadku (3) przedział krytyczny jest obustronny (dla ${\displaystyle z>z_{kryt1}}$ i dla ${\displaystyle z<z_{kryt2}}$ odrzucamy ${\displaystyle H_{0}}$).

Poniżej omówiono dwa testy – jeden dla dużych liczebności prób, oparty na statystyce ${\displaystyle z}$ o rozkładzie normalnym, analogiczny do omówionego powyżej dla jednej próby, drugi, możliwy do zastosowania przy nieco mniejszych liczebnościach prób, oparty na statystyce o rozkładzie chi-kwadrat.

Liczebności prób powinny spełniać relacje: ${\displaystyle n_{1}>50}$ i ${\displaystyle n_{2}>50.}$ Jeżeli spośród ${\displaystyle n_{1}}$ elementów pierwszej próby ${\displaystyle m_{1}}$ spełnia określony warunek, to proporcja z próby jest równa

${\displaystyle p_{1}={\frac {m_{1}}{n_{1}}}.}$

Analogicznie dla drugiej próby:

${\displaystyle p_{2}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}.}$

Wyznaczamy proporcję dla „próby połączonej”:

${\displaystyle {\bar {p}}={\frac {m_{1}+m_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$

oraz ${\displaystyle {\bar {q}}=1-{\bar {p}},}$ a następnie wyznaczamy wartość statystyki ${\displaystyle z{:}}$

${\displaystyle z={\frac {p_{1}-p_{2}}{\sqrt {{\bar {p}}\cdot {\bar {q}}\cdot {\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}}}.}$

Statystyka ta ma rozkład normalny i wartości krytyczne oraz obszary krytyczne wyznaczamy dla tego testu tak samo, jak to opisano wcześniej w teście dla jednej proporcji.

Tutaj liczebności muszą spełniać warunek ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}>20.}$

Liczby elementów spełniających lub nie spełniających zadanego warunku w poszczególnych populacjach można zapisać w tabeli 2×2:

Liczba elementów	Próba 1	Próba 2	Suma
spełniających warunek (TAK)	a	b	a + b
nie spełniających warunku (NIE)	c	d	c + d
Suma	n1=a+c	n2=b+d	n=a+b+c+d

Na podstawie tabeli obliczamy wartość statystyki z poprawką Yatesa^[1]:

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(|ad-bc|-{\frac {n_{s}}{2}}\right)^{2}\cdot n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}},}$

gdzie:

${\displaystyle n_{s}={\frac {n_{1}\cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}.}$

Jeżeli liczebności prób są na tyle duże, że ${\displaystyle n_{1}+n_{2}>40}$ – można wówczas pominąć w liczniku składnik ${\displaystyle {\frac {n_{s}}{2}}}$ w nawiasie. Wartości krytyczne wyznacza się z tablic rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody.

Ten przypadek występuje na przykład wtedy, gdy te same obiekty czy osoby stanowiące próbę są badane dwukrotnie w różnych warunkach. Wtedy zwykle liczebności obu prób są jednakowe: ${\displaystyle n_{1}=n_{2}=n.}$

Wynikiem takiego eksperymentu są 4 liczby, stwierdzające, ile obiektów w każdej z prób spełnia lub nie spełnia warunku. Wyniki takie można zestawić w tabelce 2×2:

Liczebności	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	a	b
Próba 1: NIE	c	d

Te same wyniki można też zaprezentować w postaci tabelki proporcji zamiast liczebności (gdzie np. ${\displaystyle p_{11}={\tfrac {a}{n}},p_{10}={\tfrac {b}{n}}}$ itd.)

Proporcje:	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	${\displaystyle p_{11}}$	${\displaystyle p_{10}}$
Próba 1: NIE	${\displaystyle p_{01}}$	${\displaystyle p_{00}}$

W zależności od liczebności prób możliwe są różne odmiany testu.

Jeżeli ${\displaystyle n\geqslant {20},}$ to wyznaczamy statystykę ${\displaystyle z}$ o rozkładzie normalnym z jednego ze wzorów:

${\displaystyle z={\frac {b-c}{\sqrt {b+c}}},}$

${\displaystyle z={\frac {p_{10}-p_{01}}{\sqrt {\frac {p_{10}+p_{01}}{n}}}},}$

${\displaystyle z={\frac {a-d}{\sqrt {a+d}}},}$

${\displaystyle z={\frac {p_{11}-p_{00}}{\sqrt {\frac {p_{11}+p_{00}}{n}}}}.}$

(Stosujemy dowolny z powyższych wzorów, zależnie od dostępnych danych).

Wartość statystyki ${\displaystyle z}$ porównujemy z wartością ${\displaystyle z_{kryt}}$ wyznaczoną z tablic rozkładu normalnego, przy czym postępowanie jest takie samo, jak opisane powyżej dla testu dla jednej proporcji.

W tym przypadku hipotezy mają postać:

${\displaystyle H_{0}:p_{11}=p_{10}}$ (proporcje w obu doświadczeniach są równe),

${\displaystyle H_{1}:p_{11}\neq {p_{10}}}$ (proporcje w obu przypadkach różnią się istotnie).

Jeżeli ${\displaystyle b+c>10}$ oraz zarówno ${\displaystyle b>5,}$ jak i ${\displaystyle c>5}$ to można wykorzystać statystykę

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{b+c}}.}$

Jeżeli natomiast liczebności są jeszcze mniejsze, tak, że ${\displaystyle b+c>10,}$ ale ${\displaystyle b<5}$ lub ${\displaystyle c<5,}$ należy wykorzystać nieco zmodyfikowany wzór:

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {(|b-c|-1)^{2}}{b+c}}.}$

Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla danego poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \nu =1}$ stopnia swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny (odrzucamy ${\displaystyle H_{0},}$ gdy ${\displaystyle \chi ^{2}>\chi _{kryt}^{2}}$).

Mamy tu ${\displaystyle k}$ prób o liczebnościach ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots {n_{k}}.}$ W i-tej próbie ${\displaystyle m_{i}}$ elementów spełnia zadany warunek, zatem proporcja w i-tej próbie jest równa ${\displaystyle p_{i}={\frac {m_{i}}{n_{i}}}.}$

Testujemy hipotezy:

${\displaystyle H_{0}:p_{1}=\dots =p_{k}}$ (wszystkie proporcje w populacjach są jednakowe),

${\displaystyle H_{1}:\mathbf {nie} \ H_{0}}$ (proporcje w poszczególnych populacjach różnią się).

Jeżeli wszystkie liczebności ${\displaystyle n_{i}\geqslant {20}}$ to można wyznaczyć statystykę o rozkładzie Fishera-Snedecora. Obliczamy najpierw „średnią proporcję”

${\displaystyle {\bar {p}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}{n_{i}p_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{n_{i}}}}}$

oraz

${\displaystyle F={\frac {\sum _{i=1}^{k}{n_{i}(p_{i}-{\bar {p}})^{2}}}{\sum _{i=1}^{k}{p_{i}(1-p_{i})}}}\cdot {\frac {k}{k-1}}.}$

Otrzymaną wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla założonego poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ oraz liczby stopni swobody ${\displaystyle \nu _{1}=k-1}$ i ${\displaystyle \nu _{2}=\infty .}$ Obszar krytyczny jest prawostronny, czyli gdy ${\displaystyle F>F_{kryt}}$ – odrzucamy hipotezę ${\displaystyle H_{0}.}$

Jeżeli mamy do czynienia z ${\displaystyle k}$ zależnymi próbami (seriami wyników) o jednakowej liczebności ${\displaystyle n}$ każda (np. ${\displaystyle n}$ osób jest poddawanych ${\displaystyle k}$ razy badaniu, którego wynik klasyfikujemy w kategoriach: tak, nie), przy czym liczebności są ${\displaystyle n\geqslant 20,}$ możemy wykorzystać test Cochrana do stwierdzenia, czy wyniki w poszczególnych doświadczeniach różnią się istotnie:

${\displaystyle H_{0}{:}}$ wyniki poszczególnych serii nie różnią się istotnie,

${\displaystyle H_{1}{:}}$ wyniki różnią się (zmiana warunków eksperymentu wpływa na wyniki).

Niech:

• ${\displaystyle m_{i}}$ oznacza, jak poprzednio, liczbę obiektów w i-tej próbie, które spełniają warunek (wynik Tak), to znaczy ${\displaystyle i=1,2,\dots k,}$ zaś ${\displaystyle 0\leqslant m_{i}\leqslant n,}$
• ${\displaystyle w_{j}}$ oznacza liczbę prób, w których j-ty obiekt uzyskał wynik Tak – to znaczy ${\displaystyle j=1,2,\dots n}$ oraz ${\displaystyle 0\leqslant w_{j}\leqslant k.}$

Obliczamy statystykę

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {(k-1)\left[{k\sum _{i=1}^{k}{m_{i}^{2}}-\left(\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}\right)^{2}}\right]}{k\sum _{j=1}^{n}{w_{j}}-\sum _{j=1}^{n}{w_{j}^{2}}}},}$

którą porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \nu =k-1}$ stopni swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.

• Fisher R.A., Yates F., Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Oliver and Boyd, Edinburgh 1963.
• Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu normalnego

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu chi-kwadrat

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu F Snedecora

• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładów: normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F (Fishera-Snedeccora)