Topologia zwarto-otwarta

Topologia zwarto-otwarta jest topologią na zbiorze ${\displaystyle Y^{X}}$ wszystkich przekształceń ciągłych z przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ do przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze ${\displaystyle Y^{X}}$ lub na jakimś wyróżnionym zbiorze ${\displaystyle F}$ ciągłych przekształceń ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ przy której wyrażenie ${\displaystyle f(x)}$ jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej ${\displaystyle x\in X}$ i zmiennej ${\displaystyle f\in F.}$ Innymi słowy, chodzi o taką topologię na ${\displaystyle F,}$ aby odwzorowanie ${\displaystyle (f,x)\mapsto f(x)}$ było ciągłe względem topologii produktowej na ${\displaystyle F\times X}$^[1][2].

Załóżmy, że ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami topologicznymi, a ${\displaystyle Y^{X}}$ jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle Y.}$ Jedną z topologii na zbiorze ${\displaystyle Y^{X}}$ jest topologia zbieżności punktowej ${\displaystyle {\cal {T_{p},}}}$ której bazą zbiorów otwartych jest rodzina wszystkich zbiorów postaci

${\displaystyle U=\bigcap _{i=1}^{n}\{f\in Y^{X}\mid f(A_{i})\subseteq B_{i}\},}$

gdzie każdy ${\displaystyle A_{i}}$ jest podzbiorem skończonym przestrzeni ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle B_{i}}$ jest zbiorem otwartym w ${\displaystyle Y}$^[3][4]. Zbiór ${\displaystyle Y^{X}}$ można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest topologią indukowaną przez topologię produktową na iloczynie kartezjańskim ${\displaystyle {\underset {x\in X}{\operatorname {P} }}Y_{x},}$ w którym ${\displaystyle Y_{x}=Y}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$ Topologia ${\displaystyle {\cal {T_{p}}}}$ jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w ${\displaystyle Y,}$ natomiast od topologii przestrzeni ${\displaystyle X}$ zależy jedynie zbiór funkcji należących do ${\displaystyle Y^{X}.}$

Silniejsza od ${\displaystyle {\cal {T_{p}}}}$ jest topologia zwarto-otwarta ${\displaystyle {\cal {T_{c-o},}}}$ w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny ${\displaystyle U}$ z tym, że teraz każdy ${\displaystyle A_{i}}$ jest podzbiorem zwartym przestrzeni ${\displaystyle X}$^[5][6].

Topologia ${\displaystyle {\cal {T_{c-o}}}}$ zależy od obu topologii: od topologii w ${\displaystyle Y}$ i topologii w ${\displaystyle X.}$ Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle Y}$ przestrzenią metryczną, to topologia zwarto-otwarta przestrzeni ${\displaystyle Y^{X}}$ jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnej^[7][8]. Jeżeli zaś obie przestrzenie ${\displaystyle X,Y}$ są metryczne, to w przestrzeni ${\displaystyle Y^{X}}$ można wprowadzić metrykę zbieżności jednostajnej, której topologia, zwana też topologią naturalną na ${\displaystyle Y^{X},}$ jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.

Załóżmy, że ${\displaystyle X,Y,Z}$ są przestrzeniami topologicznymi, a symbol ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)}$ oznacza przestrzeń ${\displaystyle Y^{X}}$ z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie

${\displaystyle \Gamma \colon \mathrm {Map} (X\times Y,Z)\to \mathrm {Map} {\big (}X,\mathrm {Map} (Y,Z){\big )}}$

przyporządkowujące każdej funkcji ${\displaystyle f\colon X\times Y\to Z}$ funkcję ${\displaystyle g\colon X\to Z^{Y},}$ która z kolei każdemu ${\displaystyle x\in X}$ przyporządkowuje funkcję ${\displaystyle g_{x}\colon Y\to Z}$ określoną wzorem ${\displaystyle g_{x}(y)=f(x,y).}$ Jeżeli przestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest lokalnie zwarta, a X jest przestrzenią Hausdorffa, to ${\displaystyle \Gamma }$ jest bijekcją i homeomorfizmem^[9].

Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla teorii homotopii) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za ${\displaystyle Y}$ podstawimy sferę n-wymiarową ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}\ (n\geqslant 0)}$ i rozważymy przestrzenie topologiczne ${\displaystyle X_{x^{\diamond }}}$ z wyróżnionymi punktami bazowymi ${\displaystyle x^{\diamond }\!\in X.}$ Przez ${\displaystyle \mathrm {Map_{*}} (X_{x^{\diamond }},Y_{y^{\diamond }})}$ oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)}$ utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla ${\displaystyle n=1}$ otrzymujemy homeomorfizm

${\displaystyle \mathrm {Map_{*}} (\Sigma X_{x^{\diamond }},Z_{z^{\diamond }})\to \mathrm {Map_{*}} {\big (}X_{x^{\diamond }},\Omega Z_{x^{\diamond }}),}$

w którym występuje zredukowane zawieszenie ${\displaystyle \Sigma (X_{x^{\diamond }})}$ homeomorficzne z ${\displaystyle \mathbf {S^{1}} \!\!\wedge X_{x^{\diamond }},}$ produktem ściągniętym^[a] przestrzeni ${\displaystyle \mathbf {S} ^{1}}$ i ${\displaystyle X_{x^{\diamond }}}$ oraz przestrzeń pętli ${\displaystyle \Omega (Z_{z^{\diamond }})=\mathrm {Map_{*}} ({\mathbf {S} ^{1}}\!,Z_{z^{\diamond }}).}$ Jest to naturalna równoważność funktorów^[10]. Stała się ona punktem wyjścia dualności Eckmanna-Hiltona^{[potrzebny przypis]}

• funktory sprzężone

• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna Cz. II. Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• John L. Kelley: General Topology. Princeton: Van Nostrand Comp., 1955.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.

• Stefan Jackowski, Topologie w przestrzeniach odwzorowań, wykład dla studentów Wydziału MIM UW, https://www.mimuw.edu.pl/~sjack/Topologia_I/przestrzenie_odwzorowan.pdf