Twierdzenie Schreiera – twierdzenie teorii grup mówiące, że dowolne dwa ciągi podnormalne grupy mają równoważne zagęszczenia, tzn. zagęszczenia o izomorficznych ilorazach, niekoniecznie w tej samej kolejności.
Twierdzenie zostało odkryte przez Ottona Schreiera w 1928 roku w wyniku próby uproszczenia dowodu twierdzenia Jordana-Höldera (dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); sześć lat później Hans Zassenhaus opublikował lemat nazwany jego nazwiskiem w celu ulepszenia dowodu twierdzenia Schreiera – stąd pochodzi rzadsza, zamiennie stosowana nazwa twierdzenia: twierdzenie Schreiera-Zassenhausa. W przypadku uogólnień niekiedy spotyka się też nazwę twierdzenie Jordana-Höldera-Schreiera.
Innym zastosowaniem twierdzenia Schreiera jest możliwość wykazania, że w grupie z (co najmniej jednym) ciągiem kompozycyjnym dowolny ciąg podnormalny można zagęścić do ciągu kompozycyjnego: wystarczy zacząć od ciągów podnormalnego i kompozycyjnego konstruując ich równoważne zagęszczenia zgodnie z twierdzeniem – zagęszczenie ciągu normalnego stanie się ciągiem kompozycyjnym po zastąpieniu wszystkich powtarzających się podgrup w zagęszczeniu pojedynczym egzemplarzem każdej z tych podgrup (zob. lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).
Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).
Twierdzenie
Zobacz też: ciąg podnormalny.
Niech
![{\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G\qquad (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4af81469bfa4f42183cd6693a08e52ce8dd7762)
oraz
![{\displaystyle E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G\qquad (h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb338af3aecca5f8748f9b780481743f816b33d)
oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy
(
oznacza podgrupę trywialną).
Wówczas istnieją równoważne ciągi
grupy
będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów
Dowód
Między każdymi dwiema grupami
a
skonstruowany zostanie z ciągu
taki ciąg, który będzie zaczynać się od
i kończyć na
Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu
przez
(dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od
) oraz przecięcie iloczynów z
(dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na
); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów
z
(dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na
) i pomnożenie przecięć przez
(dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od
) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między
a
są identyczne.
Niech
i podobnie
(
). Ponieważ
to
(jako iloczyn półprosty; zob. iloczyn kompleksowy). W ten sposób
jest podgrupą w
i podobnie
jest podgrupą w
Dlatego
![{\displaystyle G_{i-1}=G_{i0}\leqslant G_{i1}\leqslant G_{i2}\leqslant \dots \leqslant G_{i\,m-1}\leqslant G_{im}=G_{i}\qquad (g_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2659b0b48550808fd64b1bdc055512a2c83a9fb9)
oraz
![{\displaystyle H_{j-1}=H_{0j}\leqslant H_{1j}\leqslant H_{2j}\leqslant \dots \leqslant H_{n-1\,j}\leqslant H_{nj}=H_{j}\qquad (h_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd2b6206dd73b122cbdaeb808c95db2f8b8bcc8)
Zgodnie z lematem Zassenhausa (przy oznaczeniach
) otrzymuje się, dla każdego
![{\displaystyle G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\trianglelefteq G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j}),\quad H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j})\trianglelefteq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5766e451f306c282e96706adcaea75db1166ecb)
oraz
![{\displaystyle G_{i-1}(G_{i}\cap H)/G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\simeq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})/H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709474257246117506bb2fb28d65bce870bc9328)
Zatem
oraz
Stąd
jest ciągiem między
a
a
jest ciągiem między
oraz
Zapisując kolejno wyrazy
otrzymuje się ciąg
grupy
o
ilorazach; podobnie zapisując kolejno wyrazy
otrzymuje się ciąg
grupy
o
ilorazach. Ciąg
jest zagęszczeniem
a
jest zagęszczeniem
Ostatecznie, wobec istnienia izomorfizmów
ciągi
i
są równoważne.
Zobacz też
- grupa policykliczna
- hipoteza Schreiera
- lemat Goursata
Bibliografia