Twierdzenie Skorochoda – twierdzenie w teorii prawdopodobieństwa, które mówi, że ciąg słabo zbieżnych miar probabilistycznych, którego granica zachowuje się odpowiednio dobrze, może być przedstawiony jako ciąg rozkładów zbieżnych prawie na pewno zmiennych losowych, określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej. Jego nazwa pochodzi od nazwiska sowieckiego matematyka Anatolija Skorochoda.
Treść twierdzenia
Niech
będzie ciągiem miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej
takim, że
zbiega słabo do pewnej miary
na
przy
Ponadto załóżmy, że nośnik
jest ośrodkowy. Wówczas istnieje ciąg zmiennych losowych
określonych na przestrzeni probabilistycznej
o wartościach w
takich, że
jest rozkładem zmiennej
dla każdego
oraz
zbiegają prawie na pewno do zmiennej
o rozkładzie
Wersja twierdzenia dla
Jeśli
jest ciągiem miar probabilistycznych na
zbieżnym słabo do miary
to istnieją zmienne losowe
i
określone na przedziale
z σ-ciałem zbiorów borelowskich i miarą Lebesgue′a o rozkładach odpowiednio
i
i takich, że
dla każdego
Dowód[1]:
Rozważmy dystrybuanty
oraz
odpowiadające miarom
i
Dla
określmy
i analogicznie dla zmiennej
Ponieważ
wtedy i tylko wtedy, gdy
to
![{\displaystyle \mathbb {P} \{\omega :X_{n}(\omega )\leqslant x\}=\mathbb {P} \{\omega :\omega \leqslant F_{n}(x)\}=F_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354bf53777ae60d55c556e18fe9e845d42d57d89)
Zatem zmienna losowa
ma dystrybuantę
analogicznie zmienna
ma dystrybuantę
Teraz pozostaje pokazać, że
Dla
i danego
wybierzmy takie
że
oraz
Wówczas
oraz ze zbieżności
wynika, że dla dostatecznie dużego
zachodzi
a stąd
Zatem
Jeśli
i
jest dodatnie, to wybierzmy takie
dla którego
i
Ponieważ
to
dla dostatecznie dużych
i stąd
Tak więc
o ile
Zatem jeśli
jest ciągła w
to
Ponieważ zmienna losowa
jest niemalejąca na przedziale
to może ona mieć co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości. W punktach tych przyjmijmy
Wówczas istotnie
dla każdego
a ponieważ zmienne
i
zostały zmienione na zbiorze miary 0, to ich rozkłady są równe
i
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- Patrick Billingsley: Prawdopodobieństwo i miara. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2021, s. 328. ISBN 978-83-01-21679-5.
- Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. Brak numerów stron w książce