Twierdzenie Zsigmondy’ego

Twierdzenie Zsigmondy’ego^[1][2] – twierdzenie w teorii liczb dostarczające informacji o dzielnikach pierwszych różnicy n-tych potęg względnie pierwszych liczb naturalnych. Twierdzenie to zostało udowodnione przez austro-węgierskiego matematyka Karla Zsigmondy’ego w 1892 roku^[3].

Twierdzenie Zsigmondy’ego znajduje zastosowanie m.in. w teorii grup, gdzie jest wykorzystywane, by wykazać, że pewne grupy mają różny rząd^[4][5].

Niech ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi oraz ${\displaystyle a>b\geqslant 1.}$ Wówczas dla każdej liczby całkowitej ${\displaystyle n\geqslant 1}$ liczba ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy ${\displaystyle p,}$ który nie dzieli żadnej z liczb ${\displaystyle a^{k}-b^{k}}$ dla ${\displaystyle n>k\geqslant 1,}$ chyba że ma miejsce jeden z poniższych wyjątków:

• ${\displaystyle n=1}$ oraz ${\displaystyle a-b=1;}$ wtedy liczba ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=1}$ oczywiście nie ma żadnych dzielników pierwszych,
• ${\displaystyle n=2}$ oraz ${\displaystyle a+b}$ jest potęgą dwójki; wtedy liczby ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ i ${\displaystyle a-b}$ są obie parzyste, ponadto każdy nieparzysty dzielnik pierwszy liczby ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$ dzieli również ${\displaystyle a-b,}$
• ${\displaystyle n=6,a=2,b=1;}$ wówczas łatwo sprawdzić, że liczba ${\displaystyle 2^{6}-1=63=3^{2}\cdot 7}$ nie ma nowych dzielników pierwszych, ponieważ ${\displaystyle 2^{2}-1=3}$ oraz ${\displaystyle 2^{3}-1=7.}$

Gdy ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ są różne i względnie pierwsze oraz ${\displaystyle n\geqslant 1}$ jest dowolną liczbą całkowitą, to poza wyjątkiem ${\displaystyle a=2,b=1,n=3}$ liczba ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy ${\displaystyle p,}$ który nie dzieli żadnej z liczb ${\displaystyle a^{k}+b^{k}}$ dla ${\displaystyle n>k\geqslant 1.}$

Powyższe twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia Zsigmondy’ego.

Przypadek ${\displaystyle n=1}$ jest trywialny.

Dla ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ustalmy liczby ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ przy czym bez straty ogólności niech ${\displaystyle a>b.}$ Jeżeli nie zachodzi wspomniany wyjątek, to twierdzenie Zsigmondy’ego gwarantuje istnienie dzielnika pierwszego ${\displaystyle p}$ liczby ${\displaystyle a^{2n}-b^{2n}}$ takiego, że ${\displaystyle p\nmid a^{k}-b^{k}}$ dla ${\displaystyle k<2n.}$ Wówczas ${\displaystyle p}$ dzieli liczbę

${\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}-b^{n})(a^{n}+b^{n}),}$

jednak nie dzieli ${\displaystyle a^{n}-b^{n}.}$ Stąd ${\displaystyle p\mid a^{n}+b^{n}.}$ Załóżmy teraz, że ${\displaystyle p\mid a^{k}+b^{k}}$ dla pewnego ${\displaystyle k<n.}$ Wówczas ${\displaystyle p\mid a^{2k}-b^{2k},}$ co wobec nierówności ${\displaystyle 2k<2n}$ jest sprzeczne z definicją liczby ${\displaystyle p.}$ Zatem niemożliwe jest, by ${\displaystyle p\mid a^{k}+b^{k}}$ dla ${\displaystyle k<n.}$ To kończy dowód.

• lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego
• liczby Mersenne’a
• wielomian cyklotomiczny