Twierdzenie o części standardowej

Twierdzenie o części standardowej^[1] – twierdzenie analizy niestandardowej mówiące o tym, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

${\displaystyle \forall _{a\in \mathbb {L} }\ \exists !_{r\in \mathbb {R} }\ a\thickapprox r^{*}}$^[1][2].

Liczbę ${\displaystyle r}$ wyznaczoną przez to twierdzenie oznaczać można jako ${\displaystyle {\mbox{st}}(a)}$^[1].

Dowód twierdzenia^[2]

Ustalmy dowolnie liczbę ${\displaystyle a\in \mathbb {L} \subset \mathbb {R} ^{*}.}$ Zdefiniujmy zbiory ${\displaystyle A:=\{x\in \mathbb {R} :a\succcurlyeq x^{*}\}}$ oraz ${\displaystyle B:=\{x\in \mathbb {R} :a\prec x^{*}\}.}$ Z prawa trychotomii w uporządkowanym ciele liczb hiperrzeczywistych wynika, że ${\displaystyle (A,B)}$ jest przekrojem Dedekinda w ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<).}$ Zauważmy, że przekrój ten wyznacza liczbę rzeczywistą ${\displaystyle r}$ taką, że ${\displaystyle \forall _{\alpha \in A}\forall _{\beta \in B}\ \alpha \leqslant r\leqslant \beta .}$ Ponieważ ciało liczb rzeczywistych spełnia aksjomat Archimedesa, to da się wyznaczyć taki ciąg ${\displaystyle (c_{n})\subset \mathbb {R} ,}$ dla którego ${\displaystyle c_{2k-1}\in A}$ i ${\displaystyle c_{2k}\in B}$ oraz ${\displaystyle c_{2k}-c_{2k-1}<{\frac {1}{k}}.}$ Zatem ${\displaystyle a,r^{*}\in \bigcap _{k=1}^{\infty }[c_{2k-1};c_{2k}],}$ co znaczy, że ${\displaystyle r^{*}\thickapprox a.}$ Liczba ${\displaystyle r}$ jest tu wyznaczona jednoznacznie, ponieważ nie istnieją dwie standardowe liczby rzeczywiste, które byłyby nieskończenie blisko siebie. ${\displaystyle \square }$

Przypisy