Uzupełnienie Schura

Uzupełnienie Schura – pojęcie w algebrze liniowej i teorii macierzy wiążące elementy macierzy blokowej.

Załóżmy, że ${\displaystyle A,B,C,D}$ są macierzami o wymiarach ${\displaystyle p\times p,}$ ${\displaystyle p\times q,}$ ${\displaystyle q\times p}$ i ${\displaystyle q\times q,}$ oraz że ${\displaystyle D}$ jest odwracalna.

Niech

${\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}$

tak, że ${\displaystyle M}$ jest macierzą blokową o wymiarach ${\displaystyle (p+q)\times (p+q).}$ Wtedy uzupełnieniem Schura bloku ${\displaystyle D}$ macierzy ${\displaystyle M}$ jest macierz o wymiarach ${\displaystyle p\times p}$ dana przez

${\displaystyle A-BD^{-1}C.}$

Uzupełnienie Schura jest wykorzystywane m.in. w eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.

Uzupełnienie Schura jest w sposób naturalny wykorzystywane przy rozwiązywaniu układu równań liniowych

${\displaystyle Ax+By=a,}$

${\displaystyle Cx+Dy=b.}$

gdzie ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle a}$ są wektorami o wymiarach ${\displaystyle p,}$ natomiast ${\displaystyle y,b}$ są wektorami o wymiarach ${\displaystyle q.}$ Macierze ${\displaystyle A,B,C,D}$ są zdefiniowane jak powyżej. Po pewnych przekształceniach dostajemy

${\displaystyle (A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.}$

Wobec tego, jeżeli można odwrócić zarówno macierz ${\displaystyle D,}$ jak i jej uzupełnienie Schura, wtedy można znaleźć ${\displaystyle x}$ i używając równania ${\displaystyle Cx+Dy=b}$ wyznaczyć ${\displaystyle y.}$ W ten sposób problem odwracania macierzy ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ został zredukowany do problemu odwracania macierzy ${\displaystyle p\times p}$ oraz ${\displaystyle q\times q.}$ Jednak w praktyce algorytm ten może nie być dokładny.

• Z. Fuzhen, The Schur Complement and Its Applications, Springer, 2005, ISBN 0-387-24271-6.