Własność skończonych przekrojów

Własność skończonych przekrojów – własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Mówimy, że rodzina zbiorów ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych ${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ mamy, że ${\displaystyle A_{0}\cap \ldots \cap A_{n}\neq \emptyset .}$

Często zamiast mówić, że ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ma fip, używając skrótu od ang. finite intersection property.

• Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:

(i) ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A_{0},A_{1},A_{2},\dots \}}$ gdzie ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \ldots }$ są zbiorami niepustymi,

(ii) ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \},}$

(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które mają dopełnienie skończone,

(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka ${\displaystyle [0,1]}$ które mają miarę Lebesgue’a 1.

• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest rodziną podzbiorów zbioru ${\displaystyle X}$ z własnością skończonych przekrojów, to zbiór

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\big \{}A\subseteq X:A_{0}\cap \ldots \cap A_{n}\subseteq A}$ dla pewnych ${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \}}$

jest filtrem podzbiorów ${\displaystyle X.}$ Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów ${\displaystyle X}$ zawierający ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC).

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas

(a) ${\displaystyle X}$ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X}$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,

(b) ${\displaystyle X}$ jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X}$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

• filtr
• przestrzeń przeliczalnie zwarta
• przestrzeń zwarta