Ilustracja do wzoru całkowego Cauchy'ego w analizie zespolonej. Wykonane za pomocą MuPad.
Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.
Załóżmy, że jest zbiorem otwartym zawartym w oraz jest funkcją holomorficzną, a koło zawiera się w Niech będzie okręgiem tworzącym brzeg Wówczas dla każdego należącego do wnętrza zachodzi[1]:
gdzie krzywa jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
Przykład użycia
Rozważmy funkcję
oraz kontur opisany zależnością:
Aby znaleźć całkę po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji Funkcję możemy zapisać:
gdzie
Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów i gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury wokół oraz wokół
Zatem w zdefiniowana poniżej funkcja jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu ).
dlatego:
Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:
Całka po obszarze jest sumą dwóch powyższych całek: