Abraham de Moivre Wzór de Moivre’a – wzór na n -tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.
Jeżeli z = | z | ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )} oraz n {\displaystyle n} jest całkowite, to[1] :
z n = | z | n ( cos n φ + i sin n φ ) . {\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).} Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):
z 1 n = ( | z | ( cos φ + i sin φ ) ) 1 n = | z | 1 n ( cos ( φ + 2 k π n ) + i sin ( φ + 2 k π n ) ) , k ∈ { 0 , … , n − 1 } . {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\big (}|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ){\big )}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\frac {1}{n}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right),\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.} Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2] . Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska[3] .
Dowód Dla n = 1 {\displaystyle n=1} wzór jest oczywisty.
Niech wzór jest prawdziwy dla n = k , {\displaystyle n=k,} tzn.
z k = | z | k ( cos k φ + i sin k φ ) . {\displaystyle z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).} Wówczas dla n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} dostaniemy
z k + 1 = z k z = | z | k ( cos k φ + i sin k φ ) ⋅ | z | ( cos φ + i sin φ ) = | z | k + 1 ( cos k φ cos φ + i cos k φ sin φ + i sin k φ cos φ − sin k φ sin φ ) = | z | k + 1 ( cos k φ cos φ − sin k φ sin φ + i ( sin k φ cos φ + cos k φ sin φ ) ) = | z | k + 1 ( cos ( k + 1 ) φ + i sin ( k + 1 ) φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}} Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego n . {\displaystyle n.}
Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych :
z − n = ( z − 1 ) n = ( z ¯ | z | 2 ) n = | z | n ( cos φ − i sin φ ) n | z | 2 n = | z | − n ( cos ( − n φ ) + i sin ( − n φ ) ) . {\displaystyle z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.} Uwagi Zespolony pierwiastek n -tego stopnia z 1 Należy zwrócić uwagę, że
1 1 n = 1 n = cos 2 k π n + i sin 2 k π n , k ∈ { 0 , … , n − 1 } . {\displaystyle 1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.} Interpretacja z 1 n {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}} w przestrzeni fazowej Jeżeli liczbę zespoloną z {\displaystyle z} zinterpretuje się jako wektor w przestrzeni fazowej z = ( ℜ ( z ) , ℑ ( z ) ) , {\displaystyle z={\big (}\Re (z),\Im (z){\big )},} to z 1 n {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}} jest zbiorem n {\displaystyle n} wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} ) na okręgu o środku w punkcie ( 0 , 0 ) . {\displaystyle (0,0).}
Zobacz też Przypisy ↑ liczby zespolone , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-10] . ↑ mcs.st-andrews.ac.uk: Abraham de Moivre – Biografia. (ang. ) . ↑ Jeff Miller, De Moivre’s theorem , [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang. ) , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18]. Liczby zespolone
pojęcia podstawowe płaszczyzna zespolona podstawy układ współrzędnych kartezjańskich układ współrzędnych biegunowych
istotne podzbiory twierdzenia struktury tworzone przez cały zbiórstruktury tworzone przez podzbiory inne pojęcia powiązane działy matematyki badacze według daty narodzinuogólnienia
БРЭ : 2235920 Catalana: 0021976 DSDE : de_Moivres_formel