Zbiór pusty
![]() | Ten artykuł dotyczy znaku zbioru pustego. Zobacz też: Ø – litera alfabetu duńskiego, islandzkiego i norweskiego, ⌀ – znak średnicy oraz ø – litera używana w międzynarodowym alfabecie fonetycznym IPA. |
∅
Zbiór pusty – zbiór niezawierający żadnych elementów[1]; zazwyczaj oznaczany symbolami rzadziej (niegdyś również: 0[2] lub Λ[3]). Zbiór, który nie jest pusty, tj. taki, który zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym[4].
W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego[5], a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.
Własności
- Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:
- bo zgodnie z definicją zachodzi
- Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.
- Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
- Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
- Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
- Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
- Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera tylko jeden element, czyli zbiór pusty.
- Moc zbioru pustego wynosi 0:
- Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
- Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję zwaną funkcją pustą.
- Jeżeli jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:
- Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:
- etc.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ zbiór pusty, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .
- ↑ RomanR. Sikorski RomanR., Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna, tom 28, Warszawa 1972, s. 12 .
- ↑ AndrzejA. Grzegorczyk AndrzejA., Zarys logiki matematycznej, t. 20, Warszawa 1973, s. 35 .
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Empty Set [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-08-11] (ang.).
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Empty Set [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-08-11] (ang.).
Bibliografia
- Algebra zbiorów. § 3. Inkluzje. Zbiór pusty, [w:] KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria mnogości, t. 27, Warszawa-Wrocław 1952 (Monografie matematyczne), s. 8–10 [zarchiwizowane z adresu 2003-07-04] .
- AntoniA. Wiweger AntoniA., Kłopoty ze zbiorem pustym, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II. Wiadomości Matematyczne”, 11 (2), 1970, s. 187–199 .