Braquistócrona
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Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é a reta que os une, mas sim, qual trajectória é percorrida no menor tempo.
Etimologia
A palavra braquistócrona vem do grego brakhistós (o mais curto) e khrónos (tempo).[1]
História
Citação «Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prémio que prometemos. Este prémio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.» Johann Bernoulli-proclamação de 1697 [2] |
O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito.
Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu irmão Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).
Citação «Reconheço o leão pela sua garra.» Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anónima apresentada[2] |
Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.
Demonstração por Bernoulli
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Brachistochronerutschbahn.jpg/314px-Brachistochronerutschbahn.jpg)
Pelo Princípio de Fermat o caminho mais rápido entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segundo uma aceleração constante (a força da gravidade g).
A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula:
- ,
onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.
A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:
- ,
onde representa o ângulo em relação à vertical e uma constante.
Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:
1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.
2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.
Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:
- .
Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:
- .
Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:
- .
Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.
Formalização do problema
Considere uma curva suave no plano unindo dois pontos fixos e . (Suponha que ). O tempo necessário para que uma partícula localizada na posição percorra a curva de até é dado por
Assumimos que a força gravitacional terrestre atua no sentido negativo do eixo . Assim, uma partícula localizada na posição e que desliza ao longo de sob a força da gravidade terá energia cinética e energia potencial dadas respectivamente como e , em que é a massa da partícula. Pela conservação de energia, temos
onde a partícula começa no repouso em com energia cinética inicial zero e energia potencial igual . Consideramos sem perda de generalidade que é parametrizada por
para alguma função adequada temos
Portanto,
Para qualquer em .
Solução por meio do cálculo variacional
Para facilitar, vamos considerar , na seção de formalização do problema, e , assim adaptando (1), temos
Agora, precisamos encontrar a função que minimize (2) , com as condições de fronteiras dadas.
Considere então a função . Assim, . A condição necessária para termos um extremo para o funcional é dada pela equação de Euler-Lagrange ; como neste caso o funcional não depende de , tem-se , e deste modo, temos
Isto é,
Para resolver esta equação diferencial, insere-se um parâmetro . Então considere e assim , tem-se
Assim,
Derivando em relação a , tem-se , e como , logo
isto é,
Desta forma, uma parametrização para é dada por , e fazendo , e como , então , assim fica-se com e .Assim, a curva , que é um arco de cicloide, é candidata a extremo do funcional.
Vamos agora verificar as condições suficientes para mostrar que a curva minimiza o funcional. Observe que o feixe de cicloide e com o centro forma um campo central que inclui o extremal
e
onde é determinado pela condição de que a cicloide passa pelo ponto de fronteira , então .
Além disso, como , então
para qualquer . Assim, verifica-se a condição suficiente para que o funcional assuma o mínimo na cicloide
e
Portanto temos a confirmação que a solução do problema da Braquistócrona é a cicloide.
Referências
Bibliografia
- Universidade de Lisboa-Trabalho sobre o problema de Braquistócrone
- HOUAISS, Antônio, Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa Tomo II, Lisboa:Círculo dos Leitores, 2003, ISBN 972-42-2809-8
- LI, Y. - Lectures on Variational Methods. [s.n], 2012. Disponível em: http://www.math.jhu.edu/~yli/Variational%20methods.pdf. Acesso em:01 de jun. 2019.
- Paul Stäckel (Ed.): Variationsrechnung. Abhandlungen von Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Adrien Marie Legendre, Carl Gustav Jacob Jacobi. Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1976.