Cardinal Woodin

Na teoria dos conjuntos, um cardinal Woodin (nomeado em homenagem ao matemático, William Hugh Woodin[nota 1]) é um número cardinal λ tal que para todas as funções:

f : λ → λ

existe um cardinal κ < λ com

{f(β)|β < κ} ⊆ κ

e uma incorporação elementar[nota 2]

j : V → M

a partir de V em um modelo interno transitivo M com o ponto crítico κ e

Vj(f)(κ) ⊆ M.

Uma definição equivalente é a seguinte: λ é Woodin se e apenas se λ é altamente inacessível e para todos A ⊆ V λ {\displaystyle A\subseteq V_{\lambda }} onde existe um λ A {\displaystyle \lambda _{A}} < λ que é < λ {\displaystyle <\lambda } - A {\displaystyle A} -forte.

λ A {\displaystyle \lambda _{A}} sendo < λ {\displaystyle <\lambda } - A {\displaystyle A} -forte significa que, para todos os ordinais α < λ, existe um j : V → M {\displaystyle j:V\to M} que é uma incorporação elementar com ponto crítico λ A {\displaystyle \lambda _{A}} , j ( λ A ) > α {\displaystyle j(\lambda _{A})>\alpha } , V α ⊆ M {\displaystyle V_{\alpha }\subseteq M} e j ( A ) ∩ V α = A ∩ V α {\displaystyle j(A)\cap V_{\alpha }=A\cap V_{\alpha }} .

Um cardinal Woodin é precedido por um conjunto estacionário de cardinais mensuráveis ​​e, portanto, é um cardinal Mahlo.[1]

Notas e referências

Notas

  1. ↑ William Hugh Woodin (nascido em 23 de abril de 1955) é um matemático americano e teórico de conjunto da Universidade da Califórnia, Berkeley.
  2. ↑ Na teoria dos modelos, um campo dentro da lógica matemática, duas estruturas M e N da mesma assinatura σ são chamadas elementaridade equivalente, desde que obedeçam a mesma sentença σ de primeira ordem. Assim, uma incorporação elementar de uma estrutura de N em uma estrutura de M da mesma assinatura σ é um mapa h: N → M tal que para cada fórmula σ de primeira ordem (x1, …, xn) e todos os elementos a1, …, an de N,
    N ⊨ {\displaystyle \models } φ(a1, …, an) implica M ⊨ {\displaystyle \models } φ(h[a1], …, h[an]).

Referências

  1. ↑ What is a Woodin Cardinal? por John R. Steel 2007 [[1]]
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