Cobertura (matemática)

Em matemática, particularmente em topologia, uma cobertura de um conjunto ${\displaystyle X}$ é uma coleção de conjuntos cuja união inclui ${\displaystyle X}$ como um subconjunto. Formalmente, se ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ é uma família indexada de conjuntos ${\displaystyle U_{\alpha },}$ então ${\displaystyle C}$ é uma cobertura de ${\displaystyle X}$ se

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$

Coberturas são comumente usadas no contexto da topologia. Se o conjunto ${\displaystyle X}$ é um espaço topológico, então uma cobertura ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle X}$ é uma coleção de subconjuntos ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ de ${\displaystyle X}$ cuja união é todo o espaço ${\displaystyle X}$. Nesse caso, dizemos que ${\displaystyle C}$ cobre ${\displaystyle X}$, ou que os conjuntos ${\displaystyle U_{\alpha }}$ cobrem ${\displaystyle X}$.

Além disso, se ${\displaystyle Y}$ é um subespaço topológico de ${\displaystyle X}$, então uma cobertura de ${\displaystyle Y}$ é uma coleção de subconjuntos ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ de ${\displaystyle X}$ cuja união contém ${\displaystyle Y}$, ou seja, ${\displaystyle C}$ é uma cobertura de ${\displaystyle Y}$ se

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$

A diferença entre a definição de uma cobertura de um espaço topológico e uma cobertura de um subespaço topológico precisa ser levada em conta. As aplicações em análise usam, efetivamente, a definição de subespaço.

Seja ${\displaystyle C}$ uma cobertura de um espaço topológico ${\displaystyle X}$. Uma subcobertura de ${\displaystyle X}$ é um subconjunto de ${\displaystyle C}$ que ainda cobre ${\displaystyle X}$.

Dizemos que ${\displaystyle C}$ é uma cobertura aberta se cada um de seus membros for um conjunto aberto (isto é, cada ${\displaystyle U_{\alpha }}$ está contido em ${\displaystyle T}$, onde ${\displaystyle T}$é a topologia em ${\displaystyle X}$).

Uma cobertura de ${\displaystyle X}$ é considerada localmente finita se cada ponto de ${\displaystyle X}$ tem uma vizinhança que cruza apenas finitos conjuntos na cobertura. Formalmente, ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$ é localmente finito se, para qualquer ${\displaystyle x\in X,}$ existe alguma vizinhança ${\displaystyle N(x)}$ de ${\displaystyle x}$ tal que o conjunto

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

seja finito. Uma cobertura de ${\displaystyle X}$ é considerada ponto-finita se cada ponto de ${\displaystyle X}$ estiver contido apenas em um número finito de conjuntos na cobertura. Uma cobertura é ponto-finita se for localmente finita, embora o inverso não seja necessariamente verdadeiro.

Um refinamento de uma cobertura ${\displaystyle C}$ de um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é uma nova cobertura ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle X}$ de modo que cada conjunto em ${\displaystyle D}$ esteja contido em algum conjunto em ${\displaystyle C}$ . Formalmente:

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$ é um refinamento de ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ se, para todo ${\displaystyle \beta \in B}$, existe ${\displaystyle \alpha \in A}$ de tal modo que ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$.

Em outras palavras, deve existir um mapa de refinamento ${\displaystyle \phi :B\to A}$ que satisfaça ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ para cada ${\displaystyle \beta \in B.}$ Esse mapa é usado, por exemplo, na cohomologia de Čech de ${\displaystyle X}$.^[1]

Cada subcobertura também é um refinamento, mas o oposto nem sempre é verdadeiro. Uma subcortura é feita a partir de conjuntos que estão na cobertura, mas omitindo alguns deles; ao passo que um refinamento é feito a partir de quaisquer conjuntos que sejam subconjuntos dos conjuntos da cobertura.

A relação de refinamento é uma pré-ordem sobre o conjunto de coberturas de ${\displaystyle X}$.

De modo geral, um refinamento de uma determinada estrutura representa, de certa forma, uma outra estrutura que a contém. Exemplos podem ser encontrados ao se particionar um intervalo (com um refinamento de ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$, sendo ${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$) e ao se analisarem topologias (com a topologia usual no espaço euclidiano sendo um refinamento da topologia trivial). Na subdivisão de complexos simpliciais (a primeira subdivisão baricêntrica de um complexo simplicial é um refinamento), a situação é ligeiramente diferente: cada simplexo no complexo mais fino é uma face de algum simplexo no complexo mais grosso, e ambos têm poliedros subjacentes iguais.

Uma maneira simples de se obter uma subcobertura é omitindo-se os conjuntos contidos em outro conjunto na cobertura. Considere especificamente as coberturas abertas. Seja ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ uma base topológica de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ uma cobertura aberta de ${\displaystyle X}$. Primeiro tome ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:\exists \,U\in {\mathcal {O}}:A\subseteq U\}}$, então ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ é um refinamento de ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Em seguida, para cada ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, seleciona-se um ${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$ contendo ${\displaystyle A}$ (exigindo o axioma de escolha). Então ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$ é uma subcobertura de ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Conseqeentemente, a cardinalidade de uma subcobertura de uma cobertura aberta pode ser tão pequena quanto a de qualquer base topológica. Portanto, em particular, o segundo axioma de enumerabilidade implica em um espaço de Lindelöf.

A noção de coberturas é frequentemente usada para definir várias propriedades topológicas relacionadas à compactação. Um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é dito ser

• compacto

se toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita (ou, equivalentemente, se toda cobertura aberta tem um refinamento finito);

• de Lindelöf

se toda cobertura aberta tem uma subcobertura contável (ou, equivalentemente, se toda cobertura aberta tem um refinamento contável);

• metacompacto

se toda cobertura aberta tem um refinamento aberto ponto-finito;

• paracompacto

se toda cobertura aberta admite um refinamento aberto localmente finito.

Diz-se que um espaço topológico ${\displaystyle X}$ possui dimensão de cobertura ${\displaystyle n}$ se cada cobertura aberta de ${\displaystyle X}$ tiver um refinamento aberto ponto-finito, de modo que nenhum ponto de ${\displaystyle X}$ seja incluído em mais que ${\displaystyle n+1}$ conjuntos no refinamento e se ${\displaystyle n}$ for o valor mínimo para o qual isso é verdade.^[2] Se tal ${\displaystyle n}$ mínimo não existir, o espaço é considerado de dimensão de cobertura infinita.

• Atlas (topologia)
• Recobrimento
• Partição de um conjunto
• Problema de cobertura de conjuntos

Referências

1. Introduction to Topology, Segunda Edição, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
2. General Topology, John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Covering (of a set)», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 

• Portal da matemática