No cálculo com múltiplas variáveis, uma diferencial é dita ser exata (ou perfeita),[1] em contraste com uma diferencial inexata,[2] se é de forma
, para alguma função
diferenciável.[3][4][5]
Interpretação
Trabalhamos em três dimensões, com definições semelhantes fixando em qualquer outro número de dimensões. Em três dimensões, uma forma do tipo
![{\displaystyle A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b7c59ffbc12e780008a306a615031c292c94f2)
é chamada de forma diferencial.[6] Esta forma é chamada exata em um domínio
no espaço se existe alguma função escalar
definida em
de tal forma que
![{\displaystyle dQ=Adx+Bdy+Cdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff38d7158810e34a994e2d13de8459e0c7e8018d)
em todo
.[7] Isto é equivalente a dizer que o campo vetorial
é um campo vetorial conservativo, com correspondente potencial
.[8][9]
Relações diferenciais parciais
Se três variáveis,
,
e
estão ligadas pela condição
para alguma função diferencial
, então existem os seguintes diferenciais totais[10]:
Substituindo a primeira equação pela segunda e reordenando, obtemos:
Como
e
são variáveis independentes,
e
podem ser escolhidos sem restrições. Para que esta última equação se mantenha em geral, os termos entre parênteses devem ser iguais a zero.
Relação de reciprocidade
Estabelecendo o primeiro termo entre parênteses igual a zero:
Um leve rearranjo dá uma relação de reciprocidade:
Há mais duas permutações da derivação anterior que dão um total de três relações de reciprocidade entre o estilo x, y e z. As relações de reciprocidade mostram que o inverso de uma derivada parcial é igual a sua recíproca.
Relação cíclica
A relação cíclica também é conhecida como a regra cíclica ou a regra do produto triplo. Definindo o segundo termo entre parênteses igual a zero rendimentos:
O uso de uma relação de reciprocidade para o estilo de jogo z parcial y parcial frac nesta equação e reordenação dá uma relação cíclica (a regra do produto triplo):
Se, em vez disso, for utilizada uma relação de reciprocidade para
com posterior rearranjo, é obtido um formulário padrão para diferenciação implícita:
Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões
(Veja também as equações termodinâmicas de Bridgman para o uso de diferenciais exatos na teoria das equações termodinâmicas)
Suponha que tenhamos cinco funções de estado
e
. Suponha que o espaço de estados seja bidimensional e que qualquer uma das cinco quantidades seja exatamente diferencial. Então, pela regra da cadeia
mas também pela regra da cadeia:
e
para que:
o que implica que:
Tomando
temos:
Tomando
temos:
Tomando
temos:
usando
dá a regra do produto triplo:
Referências
- ↑ OS CONCEITOS DE INFINITESIMAL E DIFERENCIAL NAS REGRAS DE DERIVAÇÃO DE LEIBNIZ por Raquel Anna Sapunaru, Bárbara Emanuella Souza, Débora Pelli, Douglas Frederico Guimarães Santiago publicado pela REVISTA DE ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA (REnCiMa), v.4, n.2, p. 1-15, 2013 em 7/8/2013 [[1]]
- ↑ Diferenciais inexatas e o fator integrante por A C Tort em 2 de outubro de 2012 http://www.if.ufrj.br/~pef/aulas_seminarios/notas_de_aula/tort_2012_2/EqsDifparte3.pdf
- ↑ Exact Differential publicado em MathWorld [[2]]
- ↑ Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
- ↑ Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.
- ↑ PARTE III. Formas Diferenciais - 13. Formas Diferenciais e Campos Tensoriais por Rui Loja Fernandes no Outono 2003 publicado pelo Instituto Superior Técnico de Lisboa
- ↑ Weistein, Eric W., http://mathworld.wolfram.com/Differentialk-Form.html Differential form no MathWorld
- ↑ Lima, E.L.; (2005). Curso de Análise, vol 2. segunda ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 85-244-0049-8 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
- ↑ Nakahara, M.; (2003). Geometry, Topology and Physics. segunda ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-0750306065 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
- ↑ Çengel, Yunus A. (1998). Thermodynamics : an engineering approach 3rd ed ed. Boston: McGraw Hill. OCLC 37246426 !CS1 manut: Texto extra (link)
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