Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Em Teoria de Lie, teoria de operadores e teoria matricial, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descreve a exponenciação de elementos de uma álgebra de Lie que não necessariamente comutam:

${\displaystyle \exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+{\frac {1}{2}}[A,B]+{\frac {1}{12}}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])+...)}$

onde ${\displaystyle [A,B]}$ é o comutador da álgebra, e os termos posteriores são todos comutadores de comutadores.

A fórmula é importante em mecânica quântica no cálculo da evolução temporal de observáveis^[1] e teoria quântica de campos e em Teoria de Lie na correspondência entre Álgebras de Lie e Grupos de Lie.

No caso em que ${\displaystyle [A,B]=0}$ a fórmula se reduz à exponenciação como para números:

${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}$

o que mostra que, para elementos que comutam, a exponenciação tem o mesmo comportamento que nos complexos.

Um caso especial importante na mecânica quântica é quando vale que ${\displaystyle [A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0}$, isto é, os operadores comutam com seu comutador. Neste caso a fórmula se reduz a ${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B+{\frac {[A,B]}{2}}}}$.

No caso da representação da álgebra por matrizes, é possível obter uma fórmula explícita dos termos da série^[2].

• Notes on Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) Formulae

• THE BAKER–CAMPBELL–HAUSDORFF FORMULA

• Operador

• Teoria dos Grupos

• Teoria de representação

• Teoria de Lie

Referências