Forma quadrática

Em matemática, uma forma quadrática é um polinômio homogêneo de grau dois em suas variáveis. Por exemplo,

4 x 2 + 2 x y − 3 y 2 {\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}\,\!}

é uma forma quadrática nas variáveis x e y.

Formas quadráticas ocupam um lugar central em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos números, álgebra linear, teoria dos grupos (grupo ortogonal), geometria diferencial, topologia diferencial e teoria de Lie.

Formas quadráticas são polinômios quadráticos homogêneos em n variáveis. No caso de uma, duas e três variáveis são denominadas unária, binária e ternária e apresentam-se nas seguintes formas explícitas:

  • unária: q ( x ) = a x 2 {\displaystyle q(x)=ax^{2}\!}
  • binária: q ( x , y ) = a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}\!}
  • ternária: q ( x , y , z ) = a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z {\displaystyle q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz\!} ,

nas quais a,…,f são coeficientes.[1] Notar que funções quadráticas, tais como ax2+bx+c no caso de uma única variável, não são formas quadráticas, pois não são homogêneas (a não ser que b e c sejam ambos 0).

Referências

  1. ↑ Uma tradição remontando a Gauss estabelece o uso de coeficientes pares associados a produtos de variáveis distintas, ou seja, 2b ao invés de b em formas binárias, e 2d, 2e e 2f ao invés de d, e e f em formas ternárias. As duas convenções são utilizadas na literatura

Bibliografia

  • O'Meara, T. (2000), Introduction to Quadratic Forms, ISBN 978-3-540-66564-9, Berlin, New York: Springer-Verlag 
  • Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997), The Sensual (Quadratic) Form, ISBN 978-0-88385-030-5, Carus Mathematical Monographs, The Mathematical Association of America