A Hipocicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola, sem deslizar, dentro de um círculo diretor[1].
Definição Matemática
Uma Hipocicloide pode ser definida pelas seguintes equações paramétricas:
em que é o raio do círculo base e o raio do círculo rolante. Com , este sistema também pode ser escrito:
Evoluta da Hipocicloide
Evoluta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5.
Na geometria diferencial de curvas, a evoluta da curva é o local de todos os seus centros de curvatura. A evoluta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado. A evoluta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
Involuta da Hipocicloide
Involuta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5
A involuta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado. A involuta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
em que pode ser calculado da seguinte forma:
Encurtada
Hipocicloide Encurtada
Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide encurtada, como na figura ao lado (curva vermelha)[2].
Alongada
Hipocicloide Alongada
Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide alongada, como na figura ao lado (curva vermelha).[2]
Exemplos
Exemplos de hipocicloides
k=3 - uma deltóide
k=4 - uma astróide
k=5
k=6
k=2.1
k=3.8
k=5.5
k=7.2
Referências
↑Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, cap. 13, p. 288
↑ ab[1] Curvas cíclicas. Página acessada em 24-07-2011.