Parte de uma série de artigos sobre a |
constante matemática e |
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/180px-Euler%27s_formula.svg.png) |
Propriedades |
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Aplicações |
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- Juro composto
- Identidade de Euler
- Fórmula de Euler
- meias-vidas
- crescimento e decaimento exponencial
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Definir e |
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Pessoas |
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- John Napier
- Leonhard Euler
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A constante matemática e pode ser representada de diversas formas como um número real. Por e ser um número irracional, o mesmo não pode ser representado como uma fração, podendo porém ser representado como uma fração contínua. Usando o cálculo, e pode ser representado como série infinita, produto infinito ou limite de uma sequência.
Representação como uma fração contínua
Euler provou que o número e é representado como a fração contínua simples infinita[1] (sequência A003417 na OEIS):
![{\displaystyle e=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81563edb999e33997d9d0b72e410af11645ef23)
Sua convergência pode ser triplicada permitindo apenas um número fracional:
![{\displaystyle e=[1,{\textbf {0.5}},12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,{\textbf {4(4n-1)}},{\textbf {4n+1}},\ldots ].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1e7a5d8fa574ff908b69f98458d41126050fcb)
Seguem algumas frações contínuas generalizadas infinitas de e. A segunda é gerada da primeira por uma simples transformação de equivalência. A última é equivalente a [1, 0.5, 12, 5, 28, 9, ...].
![{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e36faf34d05cb60882518818c7e6c9c7dca5e4)
![{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d101cb38140025b36f0ce1b861ea51d30e7e651)
Esta última é um caso especial da fórmula geral para a função exponencial:
![{\displaystyle e^{\frac {2x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{y-x+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+\ddots \,}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3600f94d60b1b8577979a8b62c936a20f412d02)
Referências
- ↑ Sandifer, Ed (fevereiro de 2006), How Euler Did It: Who proved e is Irrational? (PDF), MAA Online, consultado em 23 de junho de 2012