Método de Wiener–Hopf

O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.

Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções coincidem em alguma região do plano complexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.

Decomposição de Wiener–Hopf

O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária ${\displaystyle \Phi }$ em duas funções ${\displaystyle \Phi _{\pm }}$ com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo

${\displaystyle \Phi _{+}(\alpha )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }}}$

e

${\displaystyle \Phi _{-}(\alpha )=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }},}$

onde os contornos ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto ${\displaystyle z=\alpha }$, respectivamente.

Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, ${\displaystyle K(\alpha )=K_{+}(\alpha )\,K_{-}(\alpha )}$, primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.

Exemplo

Consideremos a equação diferencial parcial linear

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}f(x,y)=0,}$

onde ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}}$ é um operador linear que contém derivadas em relação a ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, sujeita a condições mistas sobre ${\displaystyle y=0}$, para uma função prescrita ${\displaystyle g(x)}$,

${\displaystyle f=g(x)}$ para ${\displaystyle x\leq 0,\quad f_{y}=0}$ quando ${\displaystyle x>0}$,

decaindo no infinito, isto é, ${\displaystyle f\rightarrow 0}$ com ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\rightarrow \infty }$. Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}{\hat {f}}(k,y)-P(k,y){\hat {f}}(k,y)=0,}$

onde ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}}$ é um operador linear contendo somente derivadas em ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle P(k,y)}$ é uma função de ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle k}$ conhecida e

${\displaystyle {\hat {f}}(k,y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}{\textrm {d}}x.}$

Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por ${\displaystyle F(k,y)}$, uma solução geral pode ser expressa como

${\displaystyle {\hat {f}}(k,y)=C(k)F(k,y),}$

sendo ${\displaystyle C(k)}$ uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre ${\displaystyle y=0}$.

O ponto crucial é decompor ${\displaystyle {\hat {f}}}$ em duas funções ${\displaystyle {\hat {f}}_{+}}$ e ${\displaystyle {\hat {f}}_{-}}$, analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente

${\displaystyle {\hat {f}}_{+}(k,y)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}{\textrm {d}}x,}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{-}(k,y)=\int _{-\infty }^{0}f(x,y)e^{-ikx}{\textrm {d}}x.}$

As condições de contorno fornecem então

${\displaystyle {\hat {g}}(k)+{\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}_{-}(k,0)+{\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}(k,0)=C(k)F(k,0)}$

e, com derivadas parciais em relação a ${\displaystyle y}$,

${\displaystyle {\hat {f}}'_{-}(k,0)={\hat {f}}'_{-}(k,0)+{\hat {f}}'_{+}(k,0)={\hat {f}}'(k,0)=C(k)F'(k,0).}$

Eliminando ${\displaystyle C(k)}$ resulta

${\displaystyle {\hat {g}}(k)+{\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}'_{-}(k,0)/K(k),}$

com

${\displaystyle K(k)={\frac {F'(k,0)}{F(k,0)}}.}$

Agora ${\displaystyle K(k)}$ como o produto das funções ${\displaystyle K_{-}}$ e ${\displaystyle K_{+}}$, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja, ${\displaystyle K(k)=K_{+}(k)K_{-}(k),}$ onde

${\displaystyle {\hbox{log}}K_{-}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\hbox{log}}(K(z))}{z-k}}{\textrm {d}}z,\quad {\hbox{Im}}k>0,}$

${\displaystyle {\hbox{log}}K_{+}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\hbox{log}}(K(z))}{z-k}}{\textrm {d}}z,\quad {\hbox{Im}}k<0.}$

Consequentemente,

${\displaystyle K_{+}(k){\hat {g}}_{+}(k)+K_{+}(k){\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}'_{-}(k,0)/K_{-}(k)-K_{+}(k){\hat {g}}_{-}(k),}$

onde foi assumido que ${\displaystyle g}$ pode ser decomposta na soma de duas funções ${\displaystyle g_{+}}$ e ${\displaystyle g_{-}}$, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de ${\displaystyle k}$, a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,

${\displaystyle {\hat {f}}_{+}(k,0)=-{\hat {g}}_{+}(k),}$

e assim

${\displaystyle C(k)={\frac {{\hat {g}}(k)-{\hat {g}}_{+}(k)}{F(k,0)}}.}$

Ver também

• Filtro de Wiener

Ligações externas

• «O Método de Wiener-Hopf, por Michiel Hazewinkel» (em inglês) 
• «O Método de Wiener-Hopf, no Wikiwaves» (em inglês)