Representação de uma pirâmide quadrangular formada por esferas. Um número piramidal quadrado corresponde ao número de esferas que podem ser alocadas se forem dispostas de forma a formar uma pirâmide quadrangular [ 1] . Se n {\displaystyle n} é o número de esferas que formam o lado da base da pirâmide, então o número piramidal associado é dado por:
∑ k = 1 n k 2 = ( 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)n(n+1)}{6}}}
Por exemplo, se uma pirâmide quadrangular for formada por 4 × 4 = 16 {\displaystyle 4\times 4=16} esferas na base, então ela terá um total de 30 esferas, o que corresponde a:
∑ k = 1 4 k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = ( 2 ⋅ 4 + 1 ) ⋅ 4 ⋅ ( 4 + 1 ) 6 = 30 {\displaystyle \sum _{k=1}^{4}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}={\frac {(2\cdot 4+1)\cdot 4\cdot (4+1)}{6}}=30} .
Demostração Mostraremos que[ 1] [ 2] :
∑ k = 1 n k 2 = ( 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)n(n+1)}{6}}} .
Primeiramente, observamos que a diferença entre dois termos consecutivos deste somatório fornece:
k 2 − ( k − 1 ) 2 = 2 k − 1 {\displaystyle k^{2}-(k-1)^{2}=2k-1}
O que mostra que a diferença entre os quadrados de dois números naturais consecutivos é um número ímpar . Além disso, por indução na equação anterior, vemos que o quadrado de um número natural pode ser escrito como a soma de números ímpares, mais precisamente:
k 2 = ∑ i = 1 k ( 2 i − 1 ) {\displaystyle k^{2}=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)} .
Consideremos, então, a seguinte tabela representativa:
1 2 = 1 2 2 = 1 + 3 3 2 = 1 + 3 + 5 4 2 = 1 + 3 + 5 + 7 5 2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ n 2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + 2 n − 1 {\displaystyle {\begin{array}{llllllllllllllllll}1^{2}&=&1&&&&&&&&&&&&&\\2^{2}&=&1&+&3&&&&&&&&&&&\\3^{2}&=&1&+&3&+&5&&&&&&&&&\\4^{2}&=&1&+&3&+&5&+&7&&&&&&&\\5^{2}&=&1&+&3&+&5&+&7&+&9&&&&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&&&\\n^{2}&=&1&+&3&+&5&+&7&+&9&+&\cdots &+&2n-1&\\\end{array}}}
Notemos que a primeira coluna após o símbolo de igualdade soma n {\displaystyle n} , a segunda coluna soma 3 ( n − 1 ) {\displaystyle 3(n-1)} , a terceira soma 5 ( n − 2 ) {\displaystyle 5(n-2)} e assim, sucessivamente, até a última coluna que soma ( 2 n − 1 ) ⋅ 1 {\displaystyle (2n-1)\cdot 1} . Logo, vemos que:
∑ k = 1 n k 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) ( n − ( k − 1 ) ) = ∑ k = 1 n 2 k ( n + 3 2 ) − 2 k 2 − ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)(n-(k-1))=\sum _{k=1}^{n}2k\left(n+{\frac {3}{2}}\right)-2k^{2}-(n+1)} .
Agora, pelas propriedades do somatório, temos:
3 ∑ k = 1 n k 2 = 2 ( n + 3 2 ) ∑ k = 1 n k − ( n + 1 ) ∑ k = 1 n 1 {\displaystyle 3\sum _{k=1}^{n}k^{2}=2\left(n+{\frac {3}{2}}\right)\sum _{k=1}^{n}k-(n+1)\sum _{k=1}^{n}1}
Ora, o somatório de ∑ k = 1 n k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k} é uma progressão aritmética de razão 1, i.e. ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}} . Logo:
3 ∑ k = 1 n k 2 = ( n + 3 2 ) n ( n + 1 ) − n ( n + 1 ) ⇒ ∑ k = 1 n k 2 = ( 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) 6 {\displaystyle 3\sum _{k=1}^{n}k^{2}=\left(n+{\frac {3}{2}}\right)n\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\Rightarrow \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)n(n+1)}{6}}} .
Referências ↑ a b Conway, John H. (1996). The book of numbers . [S.l.]: Springer. ISBN 9780387979939 ↑ Steward, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 978-8522112586
Potências e números relacionadosDa forma a × 2b ± 1 Outros números polinomiais Carol Hilbert Idôneo Kynea Leyland Números da sorte de Euler Repunit Números definidos recursivamente Possuindo um conjunto específico de outros números Expressáveis via somas específicas Não-hipotenusa Polido Prático Primário pseudoperfeito Ulam Wolstenholme Gerado via uma teoria dos crivos Relacionado a codificação Números figurados
2D
3D
centrado Tetraédrico centrado Cúbico centrado Octaédrico centrado Dodecaédrico centrado Icosaédrico centrado Não-centrado Tetraédrico Octaédrico Dodecaédrico Icosaédrico Stella octangula Piramidal Piramidal quadrado Piramidal pentagonal Piramidal hexagonal Piramidal heptagonal
4D
centrado Pentácoro centrado Triangular quadrado Não-centrado
Pseudoprimos Número de Carmichael Pseudoprimo de Catalan Pseudoprimo elíptico Pseudoprimo de Euler Pseudoprimo de Euler–Jacobi Pseudoprimo de Fermat Pseudoprimo de Frobenius Pseudoprimo de Lucas Pseudoprimo de Somer–Lucas Pseudoprimo forte Números combinatoriais Bell Bolo Catalan Dedekind Delannoy Euler Fuss–Catalan Número poligonal central Lobb Motzkin Narayana Ordenado de Bell Schröder Schröder–Hipparchus Funções aritméticas
Por propriedades de σ(n ) Abundante Quase perfeito Aritmético Colossalmente abundante Descartes Hemiperfeito Altamente abundante Altamente composto Hyperperfeito Multiplamente perfeito Perfeito Número prático Primitivo abundante Quase perfeito Refactorável Sublime Superabundante Superior altamente composto Superperfeito Por propriedades de Ω(n ) Por propriedades de φ(n ) Altamente cototiente Altamente totiente Não-cototiente Não-totiente Perfeito totiente Esparsamente totiente Por propriedades de s(n )
Dividindo um quociente Outros números relacionados com fator primo ou divisor Blum Erdős–Woods Friendly Frugal Giuga Harmônico divisor Lucas–Carmichael Oblongo Regular Rugoso Liso Sociável Esfênico Størmer Super-Poulet Zeisel Matemática recreativa
Números dependentes de base
Sequência de Aronson Ban Número panqueca
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